1. **Nêu bài toán:** Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho đồ thị hàm số $$y = x^3 + 2x^2 + (m - 3)x + m$$ có hai điểm cực trị và điểm $M(9; -5)$ nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị. 2. **Tìm điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị:** - Hàm số có đạo hàm bậc hai là $$y' = 3x^2 + 4x + (m - 3)$$. - Hai điểm cực trị tồn tại khi và chỉ khi phương trình $$y' = 0$$ có hai nghiệm phân biệt. - Phương trình đạo hàm: $$3x^2 + 4x + (m - 3) = 0$$. - Điều kiện có hai nghiệm phân biệt là: $$\Delta = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (m - 3) > 0$$ $$16 - 12(m - 3) > 0$$ $$16 - 12m + 36 > 0$$ $$52 - 12m > 0$$ $$m < \frac{52}{12} = \frac{13}{3}$$. 3. **Gọi hai nghiệm của phương trình đạo hàm là $x_1$ và $x_2$:** - Theo định lý Viète: $$x_1 + x_2 = -\frac{4}{3}$$ $$x_1 x_2 = \frac{m - 3}{3}$$. 4. **Tính hoành độ và tung độ của hai điểm cực trị:** - Tung độ tại điểm cực trị $x_i$ là: $$y(x_i) = x_i^3 + 2x_i^2 + (m - 3)x_i + m$$. 5. **Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị:** - Gọi hai điểm cực trị là $A(x_1, y_1)$ và $B(x_2, y_2)$. - Phương trình đường thẳng qua $A$ và $B$: $$y = y_1 + \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$$. 6. **Điểm $M(9; -5)$ nằm trên đường thẳng này:** - Thay $x=9$, $y=-5$ vào phương trình đường thẳng, ta có: $$-5 = y_1 + \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(9 - x_1)$$. 7. **Tính $y_2 - y_1$ và $x_2 - x_1$:** - Ta có: $$y_2 - y_1 = f(x_2) - f(x_1) = (x_2^3 - x_1^3) + 2(x_2^2 - x_1^2) + (m - 3)(x_2 - x_1)$$ - Sử dụng hằng đẳng thức: $$x_2^3 - x_1^3 = (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_1 x_2 + x_1^2)$$ $$x_2^2 - x_1^2 = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$$ - Do đó: $$y_2 - y_1 = (x_2 - x_1)[x_2^2 + x_1 x_2 + x_1^2 + 2(x_2 + x_1) + (m - 3)]$$. 8. **Thay vào phương trình đường thẳng:** $$-5 = y_1 + \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(9 - x_1) = y_1 + (9 - x_1)[x_2^2 + x_1 x_2 + x_1^2 + 2(x_2 + x_1) + (m - 3)]$$. 9. **Tính $y_1$:** $$y_1 = f(x_1) = x_1^3 + 2x_1^2 + (m - 3)x_1 + m$$. 10. **Thay $y_1$ vào biểu thức:** $$-5 = x_1^3 + 2x_1^2 + (m - 3)x_1 + m + (9 - x_1)[x_2^2 + x_1 x_2 + x_1^2 + 2(x_2 + x_1) + (m - 3)]$$. 11. **Biểu diễn các đa thức theo $x_1 + x_2$ và $x_1 x_2$:** - Ta có: $$x_1 + x_2 = S = -\frac{4}{3}$$ $$x_1 x_2 = P = \frac{m - 3}{3}$$ - Tính: $$x_2^2 + x_1 x_2 + x_1^2 = (x_1 + x_2)^2 - x_1 x_2 = S^2 - P$$ $$x_2 + x_1 = S$$ 12. **Thay vào biểu thức:** $$-5 = x_1^3 + 2x_1^2 + (m - 3)x_1 + m + (9 - x_1)[S^2 - P + 2S + (m - 3)]$$. 13. **Tính $x_1^3 + 2x_1^2$ theo $x_1$, $S$, $P$ không đơn giản, ta sẽ chọn cách khác:** - Vì $x_1$ và $x_2$ là nghiệm của phương trình đạo hàm, ta có: $$3x^2 + 4x + (m - 3) = 0$$ - Thay $x = x_1$: $$3x_1^2 = -4x_1 - (m - 3)$$ - Từ đó: $$x_1^3 = x_1 \cdot x_1^2 = x_1 \cdot \frac{-4x_1 - (m - 3)}{3} = \frac{-4x_1^2 - (m - 3)x_1}{3}$$ - Thay $x_1^2$ từ trên: $$x_1^2 = \frac{-4x_1 - (m - 3)}{3}$$ - Tính: $$x_1^3 + 2x_1^2 = \frac{-4x_1^2 - (m - 3)x_1}{3} + 2x_1^2 = \frac{-4x_1^2 - (m - 3)x_1 + 6x_1^2}{3} = \frac{2x_1^2 - (m - 3)x_1}{3}$$ - Thay lại $x_1^2$: $$= \frac{2 \cdot \frac{-4x_1 - (m - 3)}{3} - (m - 3)x_1}{3} = \frac{\frac{-8x_1 - 2(m - 3)}{3} - (m - 3)x_1}{3} = \frac{-8x_1 - 2(m - 3) - 3(m - 3)x_1}{9}$$ $$= \frac{-8x_1 - 2(m - 3) - 3(m - 3)x_1}{9} = \frac{-8x_1 - 3(m - 3)x_1 - 2(m - 3)}{9}$$ $$= \frac{x_1(-8 - 3(m - 3)) - 2(m - 3)}{9} = \frac{x_1(-8 - 3m + 9) - 2(m - 3)}{9} = \frac{x_1(1 - 3m) - 2(m - 3)}{9}$$ 14. **Thay vào biểu thức tổng:** $$-5 = \frac{x_1(1 - 3m) - 2(m - 3)}{9} + (m - 3)x_1 + m + (9 - x_1)[S^2 - P + 2S + (m - 3)]$$ 15. **Thay $S = -\frac{4}{3}$, $P = \frac{m - 3}{3}$:** $$S^2 = \left(-\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$$ $$S^2 - P + 2S + (m - 3) = \frac{16}{9} - \frac{m - 3}{3} + 2 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) + (m - 3)$$ $$= \frac{16}{9} - \frac{m - 3}{3} - \frac{8}{3} + (m - 3)$$ $$= \frac{16}{9} - \frac{m - 3}{3} - \frac{8}{3} + (m - 3)$$ - Quy đồng mẫu 9: $$= \frac{16}{9} - \frac{3(m - 3)}{9} - \frac{24}{9} + \frac{9(m - 3)}{9} = \frac{16 - 3(m - 3) - 24 + 9(m - 3)}{9}$$ $$= \frac{16 - 3m + 9 - 24 + 9m - 27}{9} = \frac{(16 + 9 - 24 - 27) + (-3m + 9m)}{9} = \frac{-26 + 6m}{9}$$ 16. **Thay lại:** $$-5 = \frac{x_1(1 - 3m) - 2(m - 3)}{9} + (m - 3)x_1 + m + (9 - x_1) \cdot \frac{-26 + 6m}{9}$$ 17. **Nhân cả hai vế với 9 để loại mẫu:** $$-45 = x_1(1 - 3m) - 2(m - 3) + 9(m - 3)x_1 + 9m + (9 - x_1)(-26 + 6m)$$ 18. **Mở rộng và nhóm các hạng tử:** $$-45 = x_1(1 - 3m) - 2m + 6 + 9(m - 3)x_1 + 9m + 9(-26 + 6m) - x_1(-26 + 6m)$$ $$= x_1(1 - 3m) - 2m + 6 + 9m x_1 - 27 x_1 + 9m - 234 + 54 m + x_1(26 - 6m)$$ 19. **Nhóm các hệ số của $x_1$ và các hằng số:** $$x_1[(1 - 3m) + 9m - 27 + 26 - 6m] + (-2m + 6 + 9m - 234 + 54 m) = -45$$ $$x_1[(1 - 3m + 9m - 6m) + (-27 + 26)] + ( -2m + 9m + 54 m + 6 - 234) = -45$$ $$x_1[1 + 0m - 1] + (61 m - 228) = -45$$ $$x_1(0) + 61 m - 228 = -45$$ 20. **Rút gọn:** $$61 m - 228 = -45$$ $$61 m = 183$$ $$m = \frac{183}{61} = 3$$ 21. **Kiểm tra điều kiện $m < \frac{13}{3} \approx 4.33$:** - Với $m=3$, điều kiện thỏa mãn. **Kết luận:** Giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và điểm $M(9; -5)$ nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $$\boxed{3}$$.