1. Énoncé du problème : Donner le théorème de Factorisation d'un polynôme du second degré via le discriminant. 2. Soit un polynôme du second degré $ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$. 3. Le discriminant $\Delta$ est défini par la formule $$\Delta = b^2 - 4ac.$$ 4. Le théorème de factorisation via le discriminant est le suivant : - Si $\Delta > 0$, le polynôme admet deux racines réelles distinctes $x_1$ et $x_2$ données par $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}.$$ Le polynôme se factorise alors en $$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2).$$ - Si $\Delta = 0$, le polynôme admet une racine réelle double $x_0 = \frac{-b}{2a}$. Le polynôme se factorise alors en $$ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2.$$ - Si $\Delta < 0$, le polynôme n'a pas de racines réelles et ne se factorise pas en facteurs linéaires réels. 5. Important : Le discriminant permet de déterminer la nature des racines et la factorisation possible du polynôme. 6. Exemple d'application : Pour $2x^2 - 4x - 6$, calculons $\Delta = (-4)^2 - 4 \times 2 \times (-6) = 16 + 48 = 64 > 0$. Les racines sont $$x_1 = \frac{4 - 8}{4} = -1, \quad x_2 = \frac{4 + 8}{4} = 3.$$ La factorisation est donc $$2x^2 - 4x - 6 = 2(x + 1)(x - 3).$$