1. Tehtävä 235: Ratkaise yhtälöt ja tarkista sijoittamalla. Yhtälöiden ratkaisemiseen käytämme toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Missä $a$, $b$ ja $c$ ovat yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ kertoimet. --- **a) Yhtälö:** $x^2 + 3x - 4 = 0$ 1. Kertoimet: $a=1$, $b=3$, $c=-4$ 2. Lasketaan diskriminantti: $$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$ 3. Ratkaistaan juuret: $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 5}{2}$$ 4. Juuret: $$x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ 5. Tarkistetaan sijoittamalla juuret alkuperäiseen yhtälöön: - $x=1$: $1^2 + 3 \cdot 1 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$ - $x=-4$: $(-4)^2 + 3 \cdot (-4) - 4 = 16 - 12 - 4 = 0$ --- **b) Yhtälö:** $x^2 - 6x + 9 = 0$ 1. Kertoimet: $a=1$, $b=-6$, $c=9$ 2. Diskriminantti: $$\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$$ 3. Juuri: $$x = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$$ 4. Tarkistus: $$3^2 - 6 \cdot 3 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0$$ --- **c) Yhtälö:** $x^2 - 2x - 8 = 0$ 1. Kertoimet: $a=1$, $b=-2$, $c=-8$ 2. Diskriminantti: $$\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$ 3. Juuret: $$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 6}{2}$$ 4. Juuret: $$x_1 = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$ 5. Tarkistus: - $x=4$: $4^2 - 2 \cdot 4 - 8 = 16 - 8 - 8 = 0$ - $x=-2$: $(-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0$ --- 2. Tehtävä 236: Ratkaise yhtälöt. Muodostetaan ensin yhtälöt muotoon $ax^2 + bx + c = 0$. --- a) $x^2 - 9x = -14$ Siirretään kaikki termit vasemmalle: $$x^2 - 9x + 14 = 0$$ Kertoimet: $a=1$, $b=-9$, $c=14$ Diskriminantti: $$\Delta = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25$$ Juuret: $$x = \frac{-(-9) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{9 \pm 5}{2}$$ $$x_1 = \frac{9 + 5}{2} = 7$$ $$x_2 = \frac{9 - 5}{2} = 2$$ Tarkistus: - $x=7$: $7^2 - 9 \cdot 7 = 49 - 63 = -14$ - $x=2$: $2^2 - 9 \cdot 2 = 4 - 18 = -14$ --- b) $2x^2 + 20 = -22x$ Siirretään kaikki termit vasemmalle: $$2x^2 + 22x + 20 = 0$$ Kertoimet: $a=2$, $b=22$, $c=20$ Diskriminantti: $$\Delta = 22^2 - 4 \cdot 2 \cdot 20 = 484 - 160 = 324$$ Juuret: $$x = \frac{-22 \pm \sqrt{324}}{2 \cdot 2} = \frac{-22 \pm 18}{4}$$ $$x_1 = \frac{-22 + 18}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$ $$x_2 = \frac{-22 - 18}{4} = \frac{-40}{4} = -10$$ Tarkistus: - $x=-1$: $2(-1)^2 + 20 = 2 + 20 = 22$ ja $-22(-1) = 22$ - $x=-10$: $2(100) + 20 = 200 + 20 = 220$ ja $-22(-10) = 220$ --- c) $4x^2 - 31x = 8$ Siirretään kaikki termit vasemmalle: $$4x^2 - 31x - 8 = 0$$ Kertoimet: $a=4$, $b=-31$, $c=-8$ Diskriminantti: $$\Delta = (-31)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-8) = 961 + 128 = 1089$$ Juuret: $$x = \frac{-(-31) \pm \sqrt{1089}}{2 \cdot 4} = \frac{31 \pm 33}{8}$$ $$x_1 = \frac{31 + 33}{8} = \frac{64}{8} = 8$$ $$x_2 = \frac{31 - 33}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$$ Tarkistus: - $x=8$: $4 \cdot 64 - 31 \cdot 8 = 256 - 248 = 8$ - $x=-\frac{1}{4}$: $4 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^2 - 31 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = 4 \cdot \frac{1}{16} + \frac{31}{4} = \frac{1}{4} + \frac{31}{4} = 8$ --- Näin ollen tehtävien 235 ja 236 ensimmäiset yhtälöt on ratkaistu ja tarkistettu.