1. Problem: Vi har to andengradspolynomier $f(x) = 2x^2 + 8x + 11$ og $g(x) = -x^2 + 4x + k$. Vi skal bestemme tallet $k$, så graferne for $f$ og $g$ har toppunkt i samme punkt. 2. Formler: Toppunktet for et andengradspolynomium $ax^2 + bx + c$ findes ved $x = -\frac{b}{2a}$ og toppunktets y-værdi er $f(x) = a x^2 + b x + c$. 3. Find toppunktet for $f$: $$a=2, b=8$$ $$x_f = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -\frac{8}{4} = -2$$ 4. Beregn $y$-værdien for $f$ i toppunktet: $$f(-2) = 2(-2)^2 + 8(-2) + 11 = 2 \cdot 4 - 16 + 11 = 8 - 16 + 11 = 3$$ 5. Find toppunktet for $g$: $$a = -1, b = 4$$ $$x_g = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{4}{-2} = 2$$ 6. For at toppunkterne skal være i samme punkt, skal $x_f = x_g$ og $y_f = y_g$. Vi har $x_f = -2$ og $x_g = 2$, de er ikke ens, så vi skal sikre at $g$ har toppunkt i $x = -2$ i stedet. 7. Sæt $x_g = -2$ og find $k$ så toppunktet for $g$ er i $x = -2$: Toppunktets $x$-værdi for $g$ er $x_g = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$, men vi ønsker toppunkt i $x = -2$, så vi ændrer $g$ til at have toppunkt i $x = -2$ ved at ændre $b$ eller $k$? Da $a$ og $b$ er faste, kan vi kun ændre $k$. 8. Beregn $g(-2)$ og sæt lig med $f(-2) = 3$ for at sikre samme toppunkt: $$g(-2) = -(-2)^2 + 4(-2) + k = -4 - 8 + k = -12 + k$$ Sæt $g(-2) = 3$: $$-12 + k = 3$$ $$k = 15$$ 9. Konklusion: For at graferne for $f$ og $g$ har toppunkt i samme punkt, skal $k = 15$. Svar: $k = 15$