1. **Problema:** resolver los siguientes cálculos en $\mathbb{R}$. **a)** $$\frac{1}{2}-4+\left(\frac{3}{5}+\frac{1}{2}\right)^2$$ $$\frac{3}{5}+\frac{1}{2}=\frac{6}{10}+\frac{5}{10}=\frac{11}{10}$$ $$\left(\frac{11}{10}\right)^2=\frac{121}{100}$$ $$\frac{1}{2}-4+\frac{121}{100}=\frac{50}{100}-\frac{400}{100}+\frac{121}{100}=-\frac{229}{100}$$ **Resultado:** $$-\frac{229}{100}$$ **b)** $$\sqrt{2}\,\left(\sqrt{14}+\sqrt{56}\right)$$ $$\sqrt{56}=\sqrt{4\cdot 14}=2\sqrt{14}$$ $$\sqrt{2}\,\left(\sqrt{14}+2\sqrt{14}\right)=\sqrt{2}\,(3\sqrt{14})$$ $$=3\sqrt{28}=3\sqrt{4\cdot 7}=3\cdot 2\sqrt{7}=6\sqrt{7}$$ **Resultado:** $$6\sqrt{7}$$ **c)** $$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{5}}$$ Racionalizamos multiplicando por el conjugado: $$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}$$ $$\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}+\sqrt{5})}{(\sqrt{2}-\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{5})}$$ $$\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}+\sqrt{5})}{2-5}=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}+\sqrt{5})}{-3}$$ $$= -\frac{\sqrt{6}+\sqrt{15}}{3}$$ **Resultado:** $$-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{15}}{3}$$ 2. **Problema:** resolver las siguientes ecuaciones lineales y cuadráticas. **a)** $$2x+4=12$$ $$2x=12-4$$ $$2x=8$$ Dividimos ambos lados por $2$: $$\frac{\cancel{2}x}{\cancel{2}}=\frac{8}{2}$$ $$x=4$$ **Resultado:** $$x=4$$ **b)** $$-2\,(x+4)+20=-8$$ $$-2x-8+20=-8$$ $$-2x+12=-8$$ $$-2x=-8-12$$ $$-2x=-20$$ Dividimos ambos lados por $-2$: $$\frac{\cancel{-2}x}{\cancel{-2}}=\frac{-20}{-2}$$ $$x=10$$ **Resultado:** $$x=10$$ **c)** $$x^2-4=0$$ $$x^2=4$$ $$x=\pm 2$$ **Resultado:** $$x=-2\text{ o }x=2$$ **d)** $$4x^2+2x=0$$ Factorizamos el factor común: $$2x(2x+1)=0$$ Entonces: $$2x=0 \quad \text{o} \quad 2x+1=0$$ Si $$2x=0$$: $$\frac{\cancel{2}x}{\cancel{2}}=\frac{0}{2}$$ $$x=0$$ Si $$2x+1=0$$: $$2x=-1$$ $$\frac{\cancel{2}x}{\cancel{2}}=\frac{-1}{2}$$ $$x=-\frac{1}{2}$$ **Resultado:** $$x=0\text{ o }x=-\frac{1}{2}$$ **e)** $$x^2+3x-4=0$$ Buscamos dos números que multipliquen $-4$ y sumen $3$: $$4\text{ y }-1$$ Entonces: $$x^2+3x-4=(x+4)(x-1)$$ $$ (x+4)(x-1)=0 $$ Entonces: $$x+4=0 \quad \text{o} \quad x-1=0$$ $$x=-4 \quad \text{o} \quad x=1$$ **Resultado:** $$x=-4\text{ o }x=1$$ 3. **Problema:** resolver las siguientes inequaciones, representar su conjunto solución en la recta real y escribirla como intervalo. **a)** $$3x-6\ge -12$$ $$3x\ge -12+6$$ $$3x\ge -6$$ Dividimos por $3$: $$\frac{\cancel{3}x}{\cancel{3}}\ge \frac{-6}{3}$$ $$x\ge -2$$ **Intervalo:** $$[-2,\infty)$$ **b)** $$-2x+14\le 28$$ $$-2x\le 28-14$$ $$-2x\le 14$$ Dividimos por $-2$ y cambiamos el sentido de la desigualdad: $$\frac{\cancel{-2}x}{\cancel{-2}}\ge \frac{14}{-2}$$ $$x\ge -7$$ **Intervalo:** $$[-7,\infty)$$ **c)** $$-3(x-1)<9$$ $$-3x+3<9$$ $$-3x<6$$ Dividimos por $-3$ y cambiamos el sentido: $$\frac{\cancel{-3}x}{\cancel{-3}}>\frac{6}{-3}$$ $$x>-2$$ **Intervalo:** $$(-2,\infty)$$ **d)** $$2x>-3$$ Dividimos por $2$: $$\frac{\cancel{2}x}{\cancel{2}}>\frac{-3}{2}$$ $$x>-\frac{3}{2}$$ **Intervalo:** $$\left(-\frac{3}{2},\infty\right)$$ 4. **Problema:** simplificar las siguientes expresiones, aplicando propiedades, y resolver según corresponda. **a)** $$(-2)^{18}\cdot(-2)^{10}\cdot(-2)^{20}$$ Cuando se multiplican potencias de la misma base, se suman los exponentes: $$(-2)^{18+10+20}=(-2)^{48}$$ Como el exponente es par, el resultado es positivo: $$(-2)^{48}=2^{48}$$ **Resultado:** $$2^{48}$$ **b)** $$(m^3)^4\cdot m^{12}$$ Usamos la propiedad de potencia de una potencia: $$(m^3)^4=m^{3\cdot 4}=m^{12}$$ Entonces: $$m^{12}\cdot m^{12}=m^{24}$$ **Resultado:** $$m^{24}$$ **c)** $$\frac{\sqrt{va\cdot vb\cdot ab}}{b^3}$$ Primero simplificamos dentro de la raíz: $$va\cdot vb\cdot ab=v\cdot a\cdot v\cdot b\cdot a\cdot b=v^2a^2b^2$$ Entonces: $$\sqrt{v^2a^2b^2}=vաբ$$ Como todo está bajo raíz, queda: $$\frac{vab}{b^3}$$ Ahora cancelamos una potencia de $b$: $$\frac{v a \cancel{b}}{\cancel{b}^3}=\frac{va}{b^2}$$ **Resultado:** $$\frac{va}{b^2}$$ 5. **Problema:** dados los siguientes gráficos, indicar a qué función pertenece y completar el análisis correspondiente. **Gráfico 1:** recta creciente que corta al eje $y$ por encima del origen. Una recta creciente corresponde a una función afín: $$f(x)=mx+b\quad \text{con } m>0$$ - **Raíz:** depende de la recta, pero en general se obtiene resolviendo $$mx+b=0$$ - **Ordenada al origen:** $$b>0$$ - **Crecimiento:** creciente en todo su dominio - **Dominio:** $$\mathbb{R}$$ - **Imagen:** $$\mathbb{R}$$ **Gráfico 2:** parábola cóncava hacia abajo, simétrica respecto del eje $y$. Eso corresponde a una función cuadrática de la forma: $$f(x)=ax^2+c\quad \text{con } a<0$$ Como es simétrica respecto del eje $y$, no tiene término lineal, y si el vértice está en el centro superior, el vértice es un máximo. - **Raíz:** depende del dibujo exacto - **Ordenada al origen:** es el valor en $x=0$, o sea el vértice si está sobre el eje $y$ - **Crecimiento:** crece a la izquierda del vértice y decrece a la derecha - **Dominio:** $$\mathbb{R}$$ - **Imagen:** $$(-\infty,\,y_V]$$ si el vértice es $V=(0,y_V)$ - **Vértice:** $$V=(0,y_V)$$ 6. **Problema:** resolver las siguientes operaciones con polinomios. **a)** $$(2x^3+6x-4x^2)-(3x^2-8x^3+2)$$ Quitamos paréntesis cambiando signos al segundo polinomio: $$2x^3+6x-4x^2-3x^2+8x^3-2$$ Agrupamos términos semejantes: $$2x^3+8x^3-4x^2-3x^2+6x-2$$ Simplificamos: $$10x^3-7x^2+6x-2$$ **Resultado:** $$10x^3-7x^2+6x-2$$ **b)** $$(2x+1)(6x^2+3x)$$ Aplicamos la distributiva: $$2x\cdot 6x^2+2x\cdot 3x+1\cdot 6x^2+1\cdot 3x$$ $$=12x^3+6x^2+6x^2+3x$$ $$=12x^3+12x^2+3x$$ **Resultado:** $$12x^3+12x^2+3x$$ 7. **Problema:** resolver las siguientes divisiones de polinomios con la regla de Ruffini y verificar el resto. **a)** $$(3x^3+8x^2-x+1):(x+1)$$ Usamos Ruffini con la raíz $-1$. Coeficientes: $$3,\ 8,\ -1,\ 1$$ Bajamos $3$. $$3\cdot(-1)=-3$$ $$8+(-3)=5$$ $$5\cdot(-1)=-5$$ $$-1+(-5)=-6$$ $$-6\cdot(-1)=6$$ $$1+6=7$$ Cociente: $$3x^2+5x-6$$ Resto: $$7$$ Verificación: $$3x^3+8x^2-x+1=(x+1)(3x^2+5x-6)+7$$ **Resultado:** $$3x^2+5x-6$$, resto $$7$$ **b)** $$(x^4+x^3+4):(x-1)$$ Completamos términos faltantes: $$x^4+x^3+0x^2+0x+4$$ Usamos Ruffini con la raíz $1$. Coeficientes: $$1,\ 1,\ 0,\ 0,\ 4$$ Bajamos $1$. $$1\cdot 1=1$$ $$1+1=2$$ $$2\cdot 1=2$$ $$0+2=2$$ $$2\cdot 1=2$$ $$0+2=2$$ $$2\cdot 1=2$$ $$4+2=6$$ Cociente: $$x^3+2x^2+2x+2$$ Resto: $$6$$ Verificación: $$x^4+x^3+4=(x-1)(x^3+2x^2+2x+2)+6$$ **Resultado:** $$x^3+2x^2+2x+2$$, resto $$6$$