1. Problemet är att bestämma en tredjegradsfunktion som skär x-axeln i punkterna $x=-2$, $x=1$ och $x=5$, och som går genom punkten $(-1,3)$. Vi ska skriva funktionen i utvecklad form, alltså inte faktoriserad. 2. Eftersom rötterna är $-2$, $1$ och $5$, kan vi skriva funktionen som $$f(x) = a(x+2)(x-1)(x-5)$$ Där $a$ är en konstant som vi måste bestämma. 3. Vi använder punkten $(-1,3)$ för att hitta $a$. Sätt in $x=-1$ och $f(x)=3$: $$3 = a(-1+2)(-1-1)(-1-5) = a(1)(-2)(-6) = a \times 12$$ 4. Lös för $a$: $$a = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$$ 5. Alltså är funktionen $$f(x) = \frac{1}{4}(x+2)(x-1)(x-5)$$ 6. Nu utvecklar vi uttrycket: Först multiplicera $(x+2)(x-1)$: $$ (x+2)(x-1) = x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2 $$ 7. Multiplicera sedan med $(x-5)$: $$ (x^2 + x - 2)(x - 5) = x^3 - 5x^2 + x^2 - 5x - 2x + 10 = x^3 - 4x^2 - 7x + 10 $$ 8. Multiplicera hela uttrycket med $\frac{1}{4}$: $$ f(x) = \frac{1}{4}x^3 - x^2 - \frac{7}{4}x + \frac{10}{4} = \frac{1}{4}x^3 - x^2 - \frac{7}{4}x + \frac{5}{2} $$ Svar: $$f(x) = \frac{1}{4}x^3 - x^2 - \frac{7}{4}x + \frac{5}{2}$$