1. Задатак: Израчунати вредности тригонометријских функција углова $\alpha$ и $\beta$ ако је $c=10$ cm и $b=6$ cm. 2. Формула: Користимо Питагорину теорему и дефиниције тригонометријских функција у правоуглом троуглу. 3. Претпоставимо да је $c$ хипотенуза, $b$ једна катета, па је друга катета $a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ cm. 4. Израчунајмо $\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{8}{10} = 0.8$, $\cos \alpha = \frac{b}{c} = \frac{6}{10} = 0.6$, $\tan \alpha = \frac{a}{b} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$. 5. За угао $\beta$, који је други оштар угао у троуглу, важи $\sin \beta = \cos \alpha = 0.6$, $\cos \beta = \sin \alpha = 0.8$, $\tan \beta = \frac{b}{a} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$. --- 1. Задатак: Решити једначину $ (x-3)(x+4) - 2(3x-2) = (x-4)^2 $. 2. Распакујмо и поједноставимо: $$ (x-3)(x+4) = x^2 + 4x - 3x - 12 = x^2 + x - 12 $$ $$ -2(3x-2) = -6x + 4 $$ Лева страна: $x^2 + x - 12 - 6x + 4 = x^2 - 5x - 8$ Десна страна: $ (x-4)^2 = x^2 - 8x + 16 $ 3. Једначина постаје: $$ x^2 - 5x - 8 = x^2 - 8x + 16 $$ 4. Одузмимо $x^2$ са обе стране: $$ \cancel{x^2} - 5x - 8 = \cancel{x^2} - 8x + 16 $$ 5. Преуредимо: $$ -5x - 8 = -8x + 16 $$ 6. Додајмо $8x$ обе стране: $$ -5x + 8x - 8 = 16 $$ $$ 3x - 8 = 16 $$ 7. Додајмо 8 обе стране: $$ 3x = 24 $$ 8. Поделимо обе стране са 3: $$ x = \frac{24}{3} = 8 $$ --- 1. Задатак: Решити једначину $ 14 \frac{1}{2} - 2 \frac{x+3}{5} = \frac{3x}{2} - 2 \frac{x-7}{3} $. 2. Претворимо мешовити број у неправилан: $14 \frac{1}{2} = \frac{29}{2}$. 3. Једначина је: $$ \frac{29}{2} - 2 \cdot \frac{x+3}{5} = \frac{3x}{2} - 2 \cdot \frac{x-7}{3} $$ 4. Израчунајмо: $$ \frac{29}{2} - \frac{2(x+3)}{5} = \frac{3x}{2} - \frac{2(x-7)}{3} $$ 5. Помножимо целу једначину са најмањим заједничким именитељем $30$ да уклонимо разломке: $$ 30 \cdot \frac{29}{2} - 30 \cdot \frac{2(x+3)}{5} = 30 \cdot \frac{3x}{2} - 30 \cdot \frac{2(x-7)}{3} $$ $$ 15 \cdot 29 - 6 \cdot 2(x+3) = 15 \cdot 3x - 10 \cdot 2(x-7) $$ $$ 435 - 12(x+3) = 45x - 20(x-7) $$ 6. Распакујмо: $$ 435 - 12x - 36 = 45x - 20x + 140 $$ $$ 399 - 12x = 25x + 140 $$ 7. Додајмо $12x$ обе стране: $$ 399 = 37x + 140 $$ 8. Одузмимо 140 обе стране: $$ 259 = 37x $$ 9. Поделимо обе стране са 37: $$ x = \frac{259}{37} = 7 $$ --- 1. Задатак: Испитати функцију и скицирати график $\psi(x) = -\frac{3}{2}x + 4$. 2. Ово је права линија са нагибом $-\frac{3}{2}$ и пресеком са осом $y$ у тачки $(0,4)$. 3. Пресек са $x$ осом је када $\psi(x) = 0$: $$ 0 = -\frac{3}{2}x + 4 $$ $$ \frac{3}{2}x = 4 $$ $$ x = \frac{4}{\frac{3}{2}} = \frac{4 \cdot 2}{3} = \frac{8}{3} $$ 4. График је права која опада са лева на десно. --- 1. Задатак: Испитати промјене и скицирати график функције $\psi(x) = \left| -\frac{2}{5} - 3x \right|$. 2. Функција је апсолутна вредност линеарне функције, што значи да је увек не-негативна. 3. Пресек са $x$ осом је када унутрашњи израз буде 0: $$ -\frac{2}{5} - 3x = 0 $$ $$ -3x = \frac{2}{5} $$ $$ x = -\frac{2}{15} $$ 4. За $x < -\frac{2}{15}$, унутрашњи израз је позитиван или негативан? Проверимо $x=-1$: $$ -\frac{2}{5} - 3(-1) = -0.4 + 3 = 2.6 > 0 $$ Значи за $x < -\frac{2}{15}$, унутрашњи израз је позитиван, па је $\psi(x) = -\frac{2}{5} - 3x$. 5. За $x > -\frac{2}{15}$, унутрашњи израз је негативан, па је $\psi(x) = -\left(-\frac{2}{5} - 3x\right) = \frac{2}{5} + 3x$. 6. График је В-облик са врхом у тачки $\left(-\frac{2}{15}, 0\right)$. --- 1. Задатак: Решити једначину $$ \frac{6}{y-6} - 2 \frac{y+14}{y^2 - 4y - 12} = \frac{4y + 11}{y^2 + 3y + 2} $$ 2. Прво факторишимо називнике: $$ y^2 - 4y - 12 = (y-6)(y+2) $$ $$ y^2 + 3y + 2 = (y+1)(y+2) $$ 3. Једначина постаје: $$ \frac{6}{y-6} - 2 \frac{y+14}{(y-6)(y+2)} = \frac{4y + 11}{(y+1)(y+2)} $$ 4. Помножимо целу једначину са најмањим заједничким именитељем $(y-6)(y+2)(y+1)$ да уклонимо разломке: $$ 6(y+2)(y+1) - 2(y+14)(y+1) = (4y + 11)(y-6) $$ 5. Израчунајмо леву страну: $$ 6(y^2 + 3y + 2) - 2(y^2 + 15y + 14) = 6y^2 + 18y + 12 - 2y^2 - 30y - 28 = 4y^2 - 12y - 16 $$ 6. Израчунајмо десну страну: $$ (4y + 11)(y - 6) = 4y^2 - 24y + 11y - 66 = 4y^2 - 13y - 66 $$ 7. Једначина је: $$ 4y^2 - 12y - 16 = 4y^2 - 13y - 66 $$ 8. Одузмимо $4y^2$ обе стране: $$ \cancel{4y^2} - 12y - 16 = \cancel{4y^2} - 13y - 66 $$ $$ -12y - 16 = -13y - 66 $$ 9. Додајмо $13y$ обе стране: $$ y - 16 = -66 $$ 10. Додајмо 16 обе стране: $$ y = -50 $$ 11. Проверимо да ли $y = -50$ не чини називнике нула (не сме бити $6$, $-2$, $-1$), што није случај, па је решење важеће. --- 1. Задатак: Решити по $x$ једначину $10 + 3(x-2) = mx + 3$, где је $m$ реалан параметар. 2. Распакујмо леву страну: $$ 10 + 3x - 6 = 3x + 4 $$ 3. Једначина је: $$ 3x + 4 = mx + 3 $$ 4. Пребацимо све са $x$ на једну страну: $$ 3x - mx = 3 - 4 $$ $$ (3 - m)x = -1 $$ 5. Ако је $3 - m \neq 0$, онда: $$ x = \frac{-1}{3 - m} $$ 6. Ако је $3 - m = 0$, односно $m = 3$, онда једначина постаје: $$ 3x + 4 = 3x + 3 $$ $$ 4 = 3 $$ што није тачно, па нема решења за $m=3$. --- Коначни одговори: 1) $\sin \alpha = 0.8$, $\cos \alpha = 0.6$, $\tan \alpha = \frac{4}{3}$; $\sin \beta = 0.6$, $\cos \beta = 0.8$, $\tan \beta = \frac{3}{4}$. 2a) $x = 8$. 2б) $x = 7$. 3) $\psi(x) = -\frac{3}{2}x + 4$, права са пресеком у $(0,4)$ и $x$ пресеком у $\left(\frac{8}{3},0\right)$. 4) $\psi(x) = \left| -\frac{2}{5} - 3x \right|$, В-облик са врхом у $\left(-\frac{2}{15},0\right)$. 5) $y = -50$. 6) $x = \frac{-1}{3 - m}$ ако $m \neq 3$, нема решења ако $m=3$.