1. Il problema chiede di trovare il valore di $x$ dato il rapporto proporzionale: $$x : \left(1 - \frac{1}{3}\right) = \left(1 - \frac{1}{10}\right) : \left(2 + \frac{2}{25}\right)$$ 2. La formula per risolvere proporzioni è: se $a : b = c : d$, allora $a \times d = b \times c$. 3. Calcoliamo i valori dentro le parentesi: $$1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$ $$1 - \frac{1}{10} = \frac{10}{10} - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$$ $$2 + \frac{2}{25} = \frac{50}{25} + \frac{2}{25} = \frac{52}{25}$$ 4. Sostituiamo nella proporzione: $$x : \frac{2}{3} = \frac{9}{10} : \frac{52}{25}$$ 5. Applichiamo la regola del prodotto incrociato: $$x \times \frac{52}{25} = \frac{2}{3} \times \frac{9}{10}$$ 6. Calcoliamo il prodotto a destra: $$\frac{2}{3} \times \frac{9}{10} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$$ 7. Ora abbiamo: $$x \times \frac{52}{25} = \frac{3}{5}$$ 8. Per isolare $x$, dividiamo entrambi i lati per $\frac{52}{25}$: $$x = \frac{3}{5} \div \frac{52}{25}$$ 9. Divisione di frazioni è moltiplicazione per l'inverso: $$x = \frac{3}{5} \times \frac{25}{52}$$ 10. Moltiplichiamo numeratore e denominatore: $$x = \frac{3 \times 25}{5 \times 52} = \frac{75}{260}$$ 11. Semplifichiamo la frazione usando il fattore comune 5: $$x = \frac{\cancel{75}^{15}}{\cancel{260}^{52}}$$ 12. Quindi il valore di $x$ è: $$x = \frac{15}{52}$$ Risposta finale: $x = \frac{15}{52}$