1. **Stating the problem:** Rozwiąż układ równań liniowych: $$\begin{cases} 2x - y + 4z = 8 \\ x - 3y + z = -3 \\ -3x + 2y - z = -1 \end{cases}$$ 2. **Metoda eliminacji:** Celem jest wyeliminowanie zmiennych, aby znaleźć wartości $x$, $y$, $z$. 3. **Wyznacz $x$ z drugiego równania:** $$x = -3 + 3y - z$$ 4. **Podstaw $x$ do pierwszego i trzeciego równania:** Pierwsze równanie: $$2(-3 + 3y - z) - y + 4z = 8$$ $$-6 + 6y - 2z - y + 4z = 8$$ $$5y + 2z - 6 = 8$$ $$5y + 2z = 14$$ Trzecie równanie: $$-3(-3 + 3y - z) + 2y - z = -1$$ $$9 - 9y + 3z + 2y - z = -1$$ $$-7y + 2z + 9 = -1$$ $$-7y + 2z = -10$$ 5. **Układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi:** $$\begin{cases} 5y + 2z = 14 \\ -7y + 2z = -10 \end{cases}$$ 6. **Odejmij drugie równanie od pierwszego:** $$ (5y + 2z) - (-7y + 2z) = 14 - (-10) $$ $$ 5y + 2z + 7y - 2z = 24 $$ $$ 12y = 24 $$ $$ y = \frac{24}{12} = 2 $$ 7. **Podstaw $y=2$ do pierwszego równania:** $$5(2) + 2z = 14$$ $$10 + 2z = 14$$ $$2z = 4$$ $$z = 2$$ 8. **Podstaw $y=2$, $z=2$ do wzoru na $x$:** $$x = -3 + 3(2) - 2 = -3 + 6 - 2 = 1$$ 9. **Ostateczne rozwiązanie:** $$\boxed{(x, y, z) = (1, 2, 2)}$$