1. **பிரச்சினையை விளக்குதல்:** $r \in \mathbb{Z}^+$ என்றால், $U_r = \frac{1}{r(r+2)} \cdot \frac{1}{r+4}$ மற்றும் $f(r) = \frac{1}{r(r+2)}$ என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. $f(r) - f(r+2) = A U_r$ என்ற சமன்பாட்டில் $A$ என்பதன் மதிப்பை கண்டுபிடிக்க வேண்டும். 2. **$f(r)$ மற்றும் $f(r+2)$-ஐ எழுதுதல்:** $$f(r) = \frac{1}{r(r+2)}$$ $$f(r+2) = \frac{1}{(r+2)(r+4)}$$ 3. **$f(r) - f(r+2)$-ஐ கணக்கிடுதல்:** $$f(r) - f(r+2) = \frac{1}{r(r+2)} - \frac{1}{(r+2)(r+4)}$$ இதை பொதுவான பகுபடுத்தல் மூலம் எழுதலாம்: $$= \frac{(r+4) - r}{r(r+2)(r+4)} = \frac{4}{r(r+2)(r+4)}$$ 4. **$U_r$-ஐ எழுதுதல்:** $$U_r = \frac{1}{r(r+2)} \cdot \frac{1}{r+4} = \frac{1}{r(r+2)(r+4)}$$ 5. **$f(r) - f(r+2) = A U_r$ என்ற சமன்பாட்டில் $A$-ஐ கண்டுபிடித்தல்:** $$f(r) - f(r+2) = \frac{4}{r(r+2)(r+4)} = A \cdot \frac{1}{r(r+2)(r+4)}$$ இதனால், $$A = 4$$ --- 6. **$ \sum_{r=1}^n U_r$-ஐ காட்டுதல்:** முதலில், $$U_r = \frac{1}{r(r+2)(r+4)}$$ இதனை பகுப்பாய்வு செய்யலாம்: $$U_r = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{r(r+2)} - \frac{1}{(r+2)(r+4)} \right)$$ ஏனெனில், $$\frac{1}{r(r+2)} - \frac{1}{(r+2)(r+4)} = \frac{4}{r(r+2)(r+4)}$$ ஆக, $$U_r = \frac{1}{4} (f(r) - f(r+2))$$ 7. **தொடர் கூட்டுத்தொகையை எழுதுதல்:** $$\sum_{r=1}^n U_r = \frac{1}{4} \sum_{r=1}^n (f(r) - f(r+2)) = \frac{1}{4} \left( \sum_{r=1}^n f(r) - \sum_{r=1}^n f(r+2) \right)$$ இதை விரிவாக்குவோம்: $$= \frac{1}{4} \left( f(1) + f(2) + \cdots + f(n) - (f(3) + f(4) + \cdots + f(n+2)) \right)$$ $$= \frac{1}{4} (f(1) + f(2) - f(n+1) - f(n+2))$$ 8. **$f(r)$-ஐ மாற்றி எழுதுதல்:** $$f(r) = \frac{1}{r(r+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r+2} \right)$$ ஆக, $$f(1) = \frac{1}{1 \cdot 3} = \frac{1}{3}$$ $$f(2) = \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8}$$ $$f(n+1) = \frac{1}{(n+1)(n+3)}$$ $$f(n+2) = \frac{1}{(n+2)(n+4)}$$ 9. **$ \sum_{r=1}^n U_r$-ஐ இறுதியாக எழுதுதல்:** $$\sum_{r=1}^n U_r = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{8} - \frac{1}{(n+1)(n+3)} - \frac{1}{(n+2)(n+4)} \right)$$ $$= \frac{1}{4} \left( \frac{11}{24} - \frac{1}{(n+1)(n+3)} - \frac{1}{(n+2)(n+4)} \right) = \frac{11}{96} - \frac{1}{4(n+1)(n+3)} - \frac{1}{4(n+2)(n+4)}$$ --- 10. **$ \sum_{r=1}^\infty U_r$-ஐ காண்க:** $$\lim_{n \to \infty} \sum_{r=1}^n U_r = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{11}{96} - \frac{1}{4(n+1)(n+3)} - \frac{1}{4(n+2)(n+4)} \right) = \frac{11}{96}$$ --- 11. **$ \lim_{n \to \infty} \sum_{r=1}^n (m U_r + U_{n+1-r}) = \frac{11}{32}$ என்ற சமன்பாட்டில் $m$-ஐ கண்டுபிடி:** முதலில், $$\sum_{r=1}^n U_r = S_n$$ $$\sum_{r=1}^n U_{n+1-r} = S_n$$ ஆக, $$\sum_{r=1}^n (m U_r + U_{n+1-r}) = m S_n + S_n = (m+1) S_n$$ $$\lim_{n \to \infty} (m+1) S_n = (m+1) \cdot \frac{11}{96} = \frac{11}{32}$$ இதனால், $$m+1 = \frac{\frac{11}{32}}{\frac{11}{96}} = \frac{11}{32} \times \frac{96}{11} = 3$$ $$\Rightarrow m = 2$$ --- **முடிவு:** - $A = 4$ - $\sum_{r=1}^n U_r = \frac{11}{96} - \frac{1}{4(n+1)(n+3)} - \frac{1}{4(n+2)(n+4)}$ - $\sum_{r=1}^\infty U_r = \frac{11}{96}$ - $m = 2$