1. **Planteamiento del problema:** Una empresa tiene costos variables y fijos para producir tamales y vende cada unidad a 15.00. Se pide: a) La ecuación de utilidad. b) El punto de equilibrio. c) La ganancia o pérdida al vender 1500 unidades. d) Graficar la función de utilidad. 2. **Datos:** - Costo mano de obra por unidad: 2.50 - Costo ingredientes por unidad: 3.00 - Costo material empaque por unidad: 2.00 - Costo fijo alquiler mensual: 10,000 - Costo fijo depreciación equipo: 2,000 - Gastos administrativos mensuales: 1,125 - Precio venta por unidad: 15.00 3. **Formulas importantes:** - Costo variable por unidad $CV = 2.50 + 3 + 2 = 7.50$ - Costo fijo total $CF = 10,000 + 2,000 + 1,125 = 13,125$ - Utilidad $U(x) = I(x) - C(x)$ donde $I(x)$ es ingreso y $C(x)$ es costo total. - Ingreso $I(x) = 15x$ - Costo total $C(x) = CF + CV \times x = 13,125 + 7.5x$ 4. **a) Ecuación de utilidad:** $$ U(x) = I(x) - C(x) = 15x - (13,125 + 7.5x) = 15x - 13,125 - 7.5x = (15 - 7.5)x - 13,125 = 7.5x - 13,125 $$ 5. **b) Punto de equilibrio:** Se encuentra cuando la utilidad es cero: $$ 0 = 7.5x - 13,125 $$ Sumamos $13,125$ a ambos lados: $$ 13,125 = 7.5x $$ Dividimos ambos lados entre 7.5: $$ \cancel{13,125} \div \cancel{7.5} = x $$ Calculamos: $$ x = \frac{13,125}{7.5} = 1,750 $$ El punto de equilibrio es vender 1,750 unidades. 6. **c) Ganancia o pérdida al vender 1500 unidades:** Sustituimos $x=1500$ en la ecuación de utilidad: $$ U(1500) = 7.5 \times 1500 - 13,125 = 11,250 - 13,125 = -1,875 $$ Hay una pérdida de 1,875 al vender 1500 unidades. 7. **d) Función para graficar:** La función de utilidad es: $$ U(x) = 7.5x - 13,125 $$ Esta función es lineal con pendiente positiva 7.5 y ordenada al origen -13,125.