1. **Écrire sous forme de valeur absolue l’intervalle $x \in ]3;5[$** L'intervalle $]3;5[$ correspond aux nombres $x$ tels que $3 < x < 5$. On peut écrire cela en centrant l'intervalle autour de la moyenne $4$ : $$|x - 4| < 1$$ car la distance entre $x$ et $4$ doit être inférieure à $1$ pour que $x$ soit entre $3$ et $5$. 2. **Traduire l’égalité $x \geq -3$ ou $x < 5$ en intervalle** L'inégalité $x \geq -3$ correspond à l'intervalle $[-3, +\infty[$. L'inégalité $x < 5$ correspond à l'intervalle $]-\infty, 5[$. L'union de ces deux intervalles est $]-\infty, +\infty[$ car tout nombre réel satisfait au moins une des deux conditions. Donc, l'ensemble est $\mathbb{R}$. 3. **Écrire le nombre $a = 2,272727...$ sous forme fractionnaire** On note $a = 2,272727...$ où la partie décimale $27$ se répète. Posons $x = 0,272727...$ Alors, $100x = 27,272727...$ Soustrayons : $$100x - x = 27,272727... - 0,272727... = 27$$ $$99x = 27 \implies x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$$ Donc, $$a = 2 + x = 2 + \frac{3}{11} = \frac{22}{11} + \frac{3}{11} = \frac{25}{11}$$ --- II) On a $A = \{x \in \mathbb{R}, |x - 2| > 2\}$ et $B = \{x \in \mathbb{R}, |3x + 1| \leq 7\}$. **a) Écrire $A$ et $B$ sous forme d’intervalles puis déterminer $A \cap B$** Pour $A$ : $$|x - 2| > 2 \implies x - 2 > 2 \text{ ou } x - 2 < -2$$ $$x > 4 \text{ ou } x < 0$$ Donc, $$A = ]-\infty, 0[ \cup ]4, +\infty[ $$ Pour $B$ : $$|3x + 1| \leq 7 \implies -7 \leq 3x + 1 \leq 7$$ Soustrayons 1 : $$-8 \leq 3x \leq 6$$ Divisons par 3 : $$-\frac{8}{3} \leq x \leq 2$$ Donc, $$B = \left[-\frac{8}{3}, 2\right]$$ L'intersection $A \cap B$ est les valeurs communes à $A$ et $B$. $A$ est $]-\infty, 0[ \cup ]4, +\infty[$ et $B$ est $[-\frac{8}{3}, 2]$. L'intersection avec $]-\infty, 0[$ est $[-\frac{8}{3}, 0[$ car $[-\frac{8}{3}, 2]$ inclut $[-\frac{8}{3}, 0[$. L'intersection avec $]4, +\infty[$ est vide car $B$ s'arrête à $2$. Donc, $$A \cap B = \left[-\frac{8}{3}, 0\right[ $$ **b) Donner le maximum de l’intervalle $A$** L'ensemble $A$ est $]-\infty, 0[ \cup ]4, +\infty[$. Il n'a pas de maximum car $]-\infty, 0[$ n'a pas de maximum (il tend vers $0$ mais $0$ n'est pas inclus) et $]4, +\infty[$ n'a pas de borne supérieure. Donc, $A$ n'a pas de maximum. **c) Donner un minorant et un majorant de $B$** $B = \left[-\frac{8}{3}, 2\right]$. Un minorant est $-\frac{8}{3}$ (plus petit élément). Un majorant est $2$ (plus grand élément). **d) Représenter sur une droite numérique l’ensemble $C = A \cap B$** $C = \left[-\frac{8}{3}, 0\right[$ est un intervalle qui commence à $-\frac{8}{3}$ inclus et s'étend jusqu'à $0$ exclu. --- **Résumé final :** 1) $x \in ]3;5[ \iff |x - 4| < 1$ 2) $x \geq -3$ ou $x < 5 \iff \mathbb{R}$ 3) $a = 2,272727... = \frac{25}{11}$ II a) $A = ]-\infty, 0[ \cup ]4, +\infty[$, $B = \left[-\frac{8}{3}, 2\right]$, $A \cap B = \left[-\frac{8}{3}, 0\right[$ II b) $A$ n'a pas de maximum II c) Minorant de $B$ : $-\frac{8}{3}$, majorant de $B$ : $2$ II d) $C = \left[-\frac{8}{3}, 0\right[$ sur la droite numérique.