1. **Énoncé du problème :** Soit $k(x) = 2x + \sqrt{x} + 3$. Montrer que l'équation $k(x) = 17$ admet une unique solution $\alpha \in [6;7]$. 2. **Montrer l'unicité de la solution dans $[6;7]$ :** Calculons $k(6)$ et $k(7)$ : $$k(6) = 2 \times 6 + \sqrt{6} + 3 = 12 + 2.449 + 3 = 17.449 > 17$$ $$k(7) = 2 \times 7 + \sqrt{7} + 3 = 14 + 2.645 + 3 = 19.645 > 17$$ Mais ici, $k(6) > 17$ et $k(7) > 17$, donc il faut vérifier l'intervalle plus précisément. Calculons $k(5)$ : $$k(5) = 10 + 2.236 + 3 = 15.236 < 17$$ Donc $k(5) < 17 < k(6)$, donc $\alpha \in [5;6]$. 3. **Montrer que $k$ est strictement croissante :** La dérivée est $$k'(x) = 2 + \frac{1}{2\sqrt{x}} > 0 \quad \text{pour } x > 0$$ Donc $k$ est strictement croissante sur $[0,+\infty)$, donc l'équation $k(x) = 17$ admet une unique solution. 4. **Encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ :** Calculons $k(5.5)$ : $$k(5.5) = 11 + 2.345 + 3 = 16.345 < 17$$ Calculons $k(5.8)$ : $$k(5.8) = 11.6 + 2.408 + 3 = 17.008 > 17$$ Donc $\alpha \in [5.7;5.8]$ à $10^{-1}$ près. 5. **Valeur exacte de $\alpha$ :** Résolvons $$2x + \sqrt{x} + 3 = 17 \Rightarrow 2x + \sqrt{x} = 14$$ Posons $t = \sqrt{x} \Rightarrow x = t^2$, alors $$2t^2 + t = 14 \Rightarrow 2t^2 + t - 14 = 0$$ Résolvons cette équation quadratique : $$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 112}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{113}}{4}$$ La racine positive est $$t = \frac{-1 + \sqrt{113}}{4}$$ Donc $$\alpha = t^2 = \left(\frac{-1 + \sqrt{113}}{4}\right)^2$$ --- 6. **Deuxième problème :** Soit $f(x) = x^3 - 12x + 10$. 7. **a. Montrer que $f(x) = 0$ admet trois solutions $\alpha, \beta, \gamma$ telles que $\alpha < -2 < \beta < 2 < \gamma$ :** Calculons $f(-3)$ : $$f(-3) = (-3)^3 - 12(-3) + 10 = -27 + 36 + 10 = 19 > 0$$ Calculons $f(-2)$ : $$f(-2) = -8 + 24 + 10 = 26 > 0$$ Calculons $f(-1)$ : $$f(-1) = -1 + 12 + 10 = 21 > 0$$ Calculons $f(0)$ : $$f(0) = 10 > 0$$ Calculons $f(1)$ : $$f(1) = 1 - 12 + 10 = -1 < 0$$ Calculons $f(2)$ : $$f(2) = 8 - 24 + 10 = -6 < 0$$ Calculons $f(3)$ : $$f(3) = 27 - 36 + 10 = 1 > 0$$ Donc par le théorème des valeurs intermédiaires, il y a une racine entre $1$ et $2$ (car $f(1)<0$ et $f(2)<0$ mais $f(3)>0$), et une racine entre $2$ et $3$. Pour $\alpha$, calculons $f(-4)$ : $$f(-4) = -64 + 48 + 10 = -6 < 0$$ Donc $f(-4)<0$ et $f(-3)>0$, donc une racine $\alpha$ entre $-4$ et $-3$. Ainsi, on a trois racines $\alpha \in (-4,-3)$, $\beta \in (1,2)$, $\gamma \in (2,3)$. 8. **b. Encadrer chaque solution à l'unité :** $$\alpha \in [-4,-3], \quad \beta \in [1,2], \quad \gamma \in [2,3]$$ 9. **c. Encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ :** Calculons $f(-3.5)$ : $$f(-3.5) = -42.875 + 42 + 10 = 9.125 > 0$$ Calculons $f(-3.8)$ : $$f(-3.8) = -54.872 + 45.6 + 10 = 0.728 > 0$$ Calculons $f(-3.9)$ : $$f(-3.9) = -59.319 + 46.8 + 10 = -2.519 < 0$$ Donc $\alpha \in [-3.9,-3.8]$. 10. **d. Valeur approchée par défaut de $\beta$ à $10^{-2}$ près :** Calculons $f(1.5)$ : $$f(1.5) = 3.375 - 18 + 10 = -4.625 < 0$$ Calculons $f(1.8)$ : $$f(1.8) = 5.832 - 21.6 + 10 = -5.768 < 0$$ Calculons $f(1.9)$ : $$f(1.9) = 6.859 - 22.8 + 10 = -5.941 < 0$$ Calculons $f(2)$ : $$f(2) = -6 < 0$$ Calculons $f(2.1)$ : $$f(2.1) = 9.261 - 25.2 + 10 = -5.939 < 0$$ Calculons $f(2.2)$ : $$f(2.2) = 10.648 - 26.4 + 10 = -5.752 < 0$$ Calculons $f(2.3)$ : $$f(2.3) = 12.167 - 27.6 + 10 = -5.433 < 0$$ Calculons $f(2.4)$ : $$f(2.4) = 13.824 - 28.8 + 10 = -4.976 < 0$$ Calculons $f(2.5)$ : $$f(2.5) = 15.625 - 30 + 10 = -4.375 < 0$$ Calculons $f(2.6)$ : $$f(2.6) = 17.576 - 31.2 + 10 = -3.624 < 0$$ Calculons $f(2.7)$ : $$f(2.7) = 19.683 - 32.4 + 10 = -2.717 < 0$$ Calculons $f(2.8)$ : $$f(2.8) = 21.952 - 33.6 + 10 = -1.648 < 0$$ Calculons $f(2.9)$ : $$f(2.9) = 24.389 - 34.8 + 10 = -0.411 < 0$$ Calculons $f(3)$ : $$f(3) = 27 - 36 + 10 = 1 > 0$$ Donc $\beta \approx 2.9$ par défaut à $10^{-2}$. 11. **e. Encadrement de $\gamma$ d'amplitude 0,75 :** On sait $\gamma \in [2,3]$, prenons $[2.25,3]$ qui a une amplitude de $0.75$. 12. **f. Signe de $f(x)$ :** - Pour $x < \alpha$, $f(x)$ est négatif (car $f(-4) < 0$). - Entre $\alpha$ et $\beta$, $f(x)$ est positif. - Entre $\beta$ et $\gamma$, $f(x)$ est négatif. - Pour $x > \gamma$, $f(x)$ est positif. --- **Résumé :** - $k(x) = 17$ a une unique solution $\alpha = \left(\frac{-1 + \sqrt{113}}{4}\right)^2 \approx 5.75$. - $f(x) = 0$ a trois racines $\alpha \in [-3.9,-3.8]$, $\beta \approx 2.9$, $\gamma \in [2.25,3]$. - Le signe de $f$ change selon les intervalles définis par ces racines.