1. Planteamos el problema: Encontrar el valor de $a$ en la ecuación cuadrática $$x^2 - (2a + 4)x + a^2 + 8 = 0$$ sabiendo que una raíz es el triple de la otra. 2. Sea $r$ una raíz y $3r$ la otra raíz. 3. Por la suma de raíces, sabemos que $$r + 3r = 4r = 2a + 4$$ (porque el coeficiente de $x$ es $-(2a+4)$ y la suma de raíces es $$\frac{-(b)}{a}$$ para $ax^2+bx+c=0$). 4. Por el producto de raíces, $$r \cdot 3r = 3r^2 = a^2 + 8$$ (producto de raíces es $$\frac{c}{a}$$). 5. De la suma, despejamos $$r = \frac{2a + 4}{4} = \frac{2a + 4}{4}$$. 6. Sustituimos $r$ en el producto: $$3 \left(\frac{2a + 4}{4}\right)^2 = a^2 + 8$$ 7. Simplificamos: $$3 \cdot \frac{(2a + 4)^2}{16} = a^2 + 8$$ 8. Multiplicamos ambos lados por 16 para eliminar denominador: $$3(2a + 4)^2 = 16(a^2 + 8)$$ 9. Expandimos el cuadrado: $$(2a + 4)^2 = 4a^2 + 16a + 16$$ 10. Sustituimos: $$3(4a^2 + 16a + 16) = 16a^2 + 128$$ 11. Expandimos el lado izquierdo: $$12a^2 + 48a + 48 = 16a^2 + 128$$ 12. Pasamos todo a un lado: $$0 = 16a^2 + 128 - 12a^2 - 48a - 48$$ 13. Simplificamos: $$0 = 4a^2 - 48a + 80$$ 14. Dividimos toda la ecuación por 4: $$0 = \cancel{4}a^2 - \cancel{4}12a + \cancel{4}20$$ $$0 = a^2 - 12a + 20$$ 15. Resolvemos la ecuación cuadrática usando la fórmula: $$a = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{64}}{2}$$ 16. Calculamos la raíz cuadrada: $$a = \frac{12 \pm 8}{2}$$ 17. Dos soluciones: - $$a = \frac{12 + 8}{2} = \frac{20}{2} = 10$$ - $$a = \frac{12 - 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ 18. Por lo tanto, los valores de $a$ que cumplen la condición son $\boxed{2}$ y $\boxed{10}$.