1. Planteamos el problema: Dadas las funciones $f(x) = 4x^2 + 6x - 11$ y $(f \circ g)(x) = 36x^2 - 30x - 7$, debemos encontrar el valor de $g\left(\frac{2}{3}\right)$. 2. Recordemos que la composición $(f \circ g)(x)$ significa $f(g(x))$. Por lo tanto, si $f(g(x)) = 36x^2 - 30x - 7$, debemos encontrar $g(x)$ tal que al sustituirlo en $f$, obtengamos esa expresión. 3. Sea $g(x) = ax + b$. Sustituimos en $f$: $$f(g(x)) = 4(ax + b)^2 + 6(ax + b) - 11$$ 4. Expandimos: $$4(a^2x^2 + 2abx + b^2) + 6ax + 6b - 11 = 4a^2x^2 + 8abx + 4b^2 + 6ax + 6b - 11$$ 5. Agrupamos términos semejantes: $$4a^2x^2 + (8ab + 6a)x + (4b^2 + 6b - 11)$$ 6. Igualamos coeficientes con $(f \circ g)(x) = 36x^2 - 30x - 7$: - Coeficiente de $x^2$: $4a^2 = 36 \implies a^2 = 9 \implies a = 3$ o $a = -3$ - Coeficiente de $x$: $8ab + 6a = -30$ - Término independiente: $4b^2 + 6b - 11 = -7$ 7. Resolvemos el término independiente: $$4b^2 + 6b - 11 = -7 \implies 4b^2 + 6b - 4 = 0$$ Dividimos entre 2 para simplificar: $$2b^2 + 3b - 2 = 0$$ 8. Usamos la fórmula cuadrática para $b$: $$b = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}$$ 9. Soluciones para $b$: - $b = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ - $b = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$ 10. Probamos cada valor de $b$ con $a=3$ y $a=-3$ en la ecuación del coeficiente de $x$: - Para $a=3$, $8ab + 6a = 8 \cdot 3 \cdot b + 18 = 24b + 18 = -30 \implies 24b = -48 \implies b = -2$ - Para $a=-3$, $8ab + 6a = 8 \cdot (-3) \cdot b - 18 = -24b - 18 = -30 \implies -24b = -12 \implies b = \frac{1}{2}$ 11. Por lo tanto, las dos posibles funciones $g(x)$ son: - $g(x) = 3x - 2$ - $g(x) = -3x + \frac{1}{2}$ 12. Calculamos $g\left(\frac{2}{3}\right)$ para ambas: - Si $g(x) = 3x - 2$, entonces $g\left(\frac{2}{3}\right) = 3 \cdot \frac{2}{3} - 2 = 2 - 2 = 0$ - Si $g(x) = -3x + \frac{1}{2}$, entonces $g\left(\frac{2}{3}\right) = -3 \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = -2 + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$ 13. Ambas soluciones son válidas según la composición dada, pero normalmente se elige la que mantiene la función $g$ más simple o según contexto. Respuesta final: $g\left(\frac{2}{3}\right) = 0$ o $g\left(\frac{2}{3}\right) = -\frac{3}{2}$.