1. Planteamos el problema: encontrar el valor de $n$ en la ecuación $$ (x^n) \log_x 3 = 3 \log_{\sqrt{3}} x + 2^{1 + 4 \log_x x} $$ 2. Recordemos algunas propiedades importantes de logaritmos y exponentes: - $\log_x x = 1$ - $\log_{\sqrt{3}} x = \frac{\log_x x}{\log_x \sqrt{3}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \log_x x$ pero mejor usar cambio de base para simplificar. - $2^{a+b} = 2^a \cdot 2^b$ 3. Simplificamos el lado derecho: - $2^{1 + 4 \log_x x} = 2^1 \cdot 2^{4 \log_x x} = 2 \cdot (2^{\log_x x})^4$ - Sabemos que $2^{\log_x x} = x^{\log_x 2}$ porque $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$, pero aquí es más sencillo notar que $2^{\log_x x} = x^{\log_x 2}$. 4. Dado que $\log_x x = 1$, entonces $2^{4 \log_x x} = 2^4 = 16$, por lo que: $$ 2^{1 + 4 \log_x x} = 2 \cdot 16 = 32 $$ 5. Ahora, el lado derecho es: $$ 3 \log_{\sqrt{3}} x + 32 $$ 6. Cambiamos $\log_{\sqrt{3}} x$ a base $x$: $$ \log_{\sqrt{3}} x = \frac{\log_x x}{\log_x \sqrt{3}} = \frac{1}{\frac{1}{2} \log_x 3} = \frac{2}{\log_x 3} $$ 7. Entonces: $$ 3 \log_{\sqrt{3}} x = 3 \cdot \frac{2}{\log_x 3} = \frac{6}{\log_x 3} $$ 8. La ecuación queda: $$ (x^n) \log_x 3 = \frac{6}{\log_x 3} + 32 $$ 9. Multiplicamos ambos lados por $\log_x 3$ para eliminar el denominador: $$ x^n (\log_x 3)^2 = 6 + 32 \log_x 3 $$ 10. Definimos $y = \log_x 3$, entonces: $$ x^n y^2 = 6 + 32 y $$ 11. Sabemos que $x^n = (x)^{n}$ y $y = \log_x 3$, por lo que: $$ x^n = 3^{\frac{n}{y}} $$ pero es más directo usar la relación $x^n = 3^{\frac{n}{y}}$ no es necesaria aquí, mejor despejamos $x^n$: 12. De la ecuación: $$ x^n y^2 = 6 + 32 y $$ $$ x^n = \frac{6 + 32 y}{y^2} $$ 13. Dado que $x^n = (x)^n$, y $y = \log_x 3$, podemos expresar $x$ en función de 3 y $y$: $$ y = \log_x 3 = \frac{\ln 3}{\ln x} \Rightarrow \ln x = \frac{\ln 3}{y} $$ $$ x = e^{\frac{\ln 3}{y}} = 3^{\frac{1}{y}} $$ 14. Entonces: $$ x^n = (3^{\frac{1}{y}})^n = 3^{\frac{n}{y}} $$ 15. Igualamos con la expresión anterior: $$ 3^{\frac{n}{y}} = \frac{6 + 32 y}{y^2} $$ 16. Tomamos logaritmo base 3 en ambos lados: $$ \frac{n}{y} = \log_3 \left( \frac{6 + 32 y}{y^2} \right) $$ 17. Finalmente despejamos $n$: $$ n = y \cdot \log_3 \left( \frac{6 + 32 y}{y^2} \right) $$ 18. Recordando que $y = \log_x 3$, y que en el problema se da $6 = 10 \sqrt{3}$ (posible dato para $x$), pero no se especifica $x$, por lo que la expresión para $n$ queda en función de $y$. **Respuesta final:** $$ n = \log_x 3 \cdot \log_3 \left( \frac{6 + 32 \log_x 3}{(\log_x 3)^2} \right) $$