1. Planteamos el problema: hallar el valor de $x$ en la ecuación $$\frac{3x+2}{x^2-4x-5} + \frac{2x-5}{x^2+4x+3} = \frac{5x-4}{x^2-2x-15}.$$\n\n2. Factorizamos los denominadores para simplificar: $$x^2-4x-5 = (x-5)(x+1),$$ $$x^2+4x+3 = (x+3)(x+1),$$ $$x^2-2x-15 = (x-5)(x+3).$$\n\n3. Observamos que el mínimo común denominador (MCD) es $(x-5)(x+1)(x+3)$. Multiplicamos toda la ecuación por este MCD para eliminar denominadores: $$\left(\frac{3x+2}{(x-5)(x+1)}\right)(x-5)(x+1)(x+3) + \left(\frac{2x-5}{(x+3)(x+1)}\right)(x-5)(x+1)(x+3) = \left(\frac{5x-4}{(x-5)(x+3)}\right)(x-5)(x+1)(x+3).$$\n\n4. Simplificamos cada término cancelando factores comunes: $$ (3x+2)\cancel{(x-5)}\cancel{(x+1)}(x+3) + (2x-5)\cancel{(x+3)}\cancel{(x+1)}(x-5) = (5x-4)\cancel{(x-5)}\cancel{(x+3)}(x+1).$$\n\n5. Queda la ecuación: $$ (3x+2)(x+3) + (2x-5)(x-5) = (5x-4)(x+1).$$\n\n6. Expandimos cada producto: $$ (3x+2)(x+3) = 3x^2 + 9x + 2x + 6 = 3x^2 + 11x + 6,$$ $$ (2x-5)(x-5) = 2x^2 - 10x - 5x + 25 = 2x^2 - 15x + 25,$$ $$ (5x-4)(x+1) = 5x^2 + 5x - 4x - 4 = 5x^2 + x - 4.$$\n\n7. Sumamos los términos del lado izquierdo: $$3x^2 + 11x + 6 + 2x^2 - 15x + 25 = 5x^2 - 4x + 31.$$\n\n8. Igualamos a la expresión del lado derecho: $$5x^2 - 4x + 31 = 5x^2 + x - 4.$$\n\n9. Restamos $5x^2$ de ambos lados: $$\cancel{5x^2} - 4x + 31 = \cancel{5x^2} + x - 4 \implies -4x + 31 = x - 4.$$\n\n10. Sumamos $4x$ a ambos lados: $$-4x + 4x + 31 = x + 4x - 4 \implies 31 = 5x - 4.$$\n\n11. Sumamos 4 a ambos lados: $$31 + 4 = 5x - 4 + 4 \implies 35 = 5x.$$\n\n12. Dividimos ambos lados entre 5: $$\frac{35}{5} = \frac{5x}{5} \implies 7 = x.$$\n\n13. Verificamos que $x=7$ no anule ningún denominador original: \n- $7-5=2 \neq 0$, \n- $7+1=8 \neq 0$, \n- $7+3=10 \neq 0$.\n\nPor lo tanto, la solución es $$\boxed{7}.$$