1. **Stating the problem:** Calcolare il valore dell'espressione: $$\sqrt{ \frac{\sqrt{\frac{100-64}{16+9}}}{\sqrt{\frac{9 \cdot 25}{64}}} + \sqrt{\frac{8}{3}} + \frac{\left(\frac{7}{3} - 2\right)^3}{\frac{1}{2} - \frac{1}{6}} }$$ 2. **Step 1: Simplify inside the first nested square root numerator:** $$100 - 64 = 36$$ $$16 + 9 = 25$$ Quindi: $$\sqrt{\frac{36}{25}} = \sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{6}{5}$$ 3. **Step 2: Simplify inside the first nested square root denominator:** $$9 \cdot 25 = 225$$ $$\frac{225}{64}$$ Quindi: $$\sqrt{\frac{225}{64}} = \frac{15}{8}$$ 4. **Step 3: Division inside the big root:** $$\frac{\frac{6}{5}}{\frac{15}{8}} = \frac{6}{5} \times \frac{8}{15} = \frac{48}{75}$$ Mostriamo la cancellazione: $$\frac{\cancel{48}^{16}}{\cancel{75}^{25}}$$ Quindi: $$\frac{16}{25}$$ 5. **Step 4: Calculate the second term inside the big root:** $$\sqrt{\frac{8}{3}}$$ resta così. 6. **Step 5: Calculate the third term numerator:** $$\frac{7}{3} - 2 = \frac{7}{3} - \frac{6}{3} = \frac{1}{3}$$ Quindi: $$\left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$$ 7. **Step 6: Calculate the third term denominator:** $$\frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ 8. **Step 7: Division of the third term:** $$\frac{\frac{1}{27}}{\frac{1}{3}} = \frac{1}{27} \times 3 = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$$ 9. **Step 8: Sum all terms inside the big root:** $$\frac{16}{25} + \sqrt{\frac{8}{3}} + \frac{1}{9}$$ 10. **Step 9: Approximate or find common denominator for sum:** Per sommare frazioni, usiamo denominatore comune 225: $$\frac{16}{25} = \frac{16 \times 9}{225} = \frac{144}{225}$$ $$\frac{1}{9} = \frac{25}{225}$$ Quindi la somma delle frazioni è: $$\frac{144}{225} + \frac{25}{225} = \frac{169}{225}$$ 11. **Step 10: L'espressione diventa:** $$\sqrt{ \frac{169}{225} + \sqrt{\frac{8}{3}} }$$ 12. **Step 11: Calcolare $\sqrt{\frac{8}{3}}$:** $$\sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$$ 13. **Step 12: Sommare i termini:** $$\frac{169}{225} + \frac{2\sqrt{6}}{3}$$ Per sommare, portiamo tutto a denominatore 225: $$\frac{2\sqrt{6}}{3} = \frac{2\sqrt{6} \times 75}{225} = \frac{150\sqrt{6}}{225}$$ 14. **Step 13: Espressione sotto radice:** $$\frac{169 + 150\sqrt{6}}{225}$$ 15. **Step 14: Radice quadrata del rapporto:** $$\sqrt{\frac{169 + 150\sqrt{6}}{225}} = \frac{\sqrt{169 + 150\sqrt{6}}}{15}$$ 16. **Step 15: Verifica se $169 + 150\sqrt{6}$ è un quadrato perfetto:** Cerchiamo $a$ e $b$ tali che: $$ (a + b\sqrt{6})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{6} + 6b^2 = 169 + 150\sqrt{6} $$ 17. **Step 16: Equazioni da confrontare:** $$a^2 + 6b^2 = 169$$ $$2ab = 150 \Rightarrow ab = 75$$ 18. **Step 17: Risolviamo:** Da $ab=75$, $a = \frac{75}{b}$. Sostituiamo nella prima: $$\left(\frac{75}{b}\right)^2 + 6b^2 = 169$$ $$\frac{5625}{b^2} + 6b^2 = 169$$ Moltiplichiamo per $b^2$: $$5625 + 6b^4 = 169 b^2$$ 19. **Step 18: Poniamo $x = b^2$:** $$6x^2 - 169x + 5625 = 0$$ 20. **Step 19: Risolviamo l'equazione quadratica:** $$\Delta = 169^2 - 4 \times 6 \times 5625 = 28561 - 135000 = -106439$$ Il discriminante è negativo, quindi nessuna soluzione reale. 21. **Step 20: Conclusione:** $169 + 150\sqrt{6}$ non è un quadrato perfetto, quindi lasciamo la risposta così. **Risposta finale:** $$\boxed{\frac{\sqrt{169 + 150\sqrt{6}}}{15}}$$