1. Planteamos el problema: Encontrar los valores de $A$ y $B$ para la función por partes $$Z(t) = \begin{cases} t^2 + At + 5, & 1 \leq t \leq 4 \\ B - t, & 4 < t \leq 10 \end{cases}$$ que es continua y cumple que $Z(2) = 3$. 2. Usamos la condición $Z(2) = 3$ en la primera parte: $$Z(2) = 2^2 + 2A + 5 = 4 + 2A + 5 = 9 + 2A$$ Igualamos a 3: $$9 + 2A = 3$$ $$2A = 3 - 9 = -6$$ $$A = -3$$ 3. La función es continua en $t=4$, por lo que los valores de ambas expresiones deben coincidir en $t=4$: Primera parte en $t=4$: $$Z(4) = 4^2 + A \cdot 4 + 5 = 16 + 4A + 5 = 21 + 4A$$ Segunda parte en $t=4$: $$Z(4) = B - 4$$ Igualamos: $$21 + 4A = B - 4$$ Sustituimos $A = -3$: $$21 + 4(-3) = B - 4$$ $$21 - 12 = B - 4$$ $$9 = B - 4$$ $$B = 13$$ 4. Respuesta final: $$A = -3, \quad B = 13$$