1. Planteamos el problema: Encontrar los valores de $a$, $b$ y $c$ para la función cuadrática $$y = a + bx + cx^2$$ que pasa por los puntos $P(0,1)$ y $Q(2,0)$ y cuya tangente en $P$ es paralela al eje $OX$. 2. Condiciones dadas: - La función pasa por $P(0,1)$: $$y(0) = a + b\cdot0 + c\cdot0^2 = a = 1$$ - La función pasa por $Q(2,0)$: $$y(2) = a + 2b + 4c = 0$$ - La tangente en $P$ es paralela al eje $OX$, por lo que la derivada en $x=0$ es cero: $$y'(x) = b + 2cx \Rightarrow y'(0) = b = 0$$ 3. Ya sabemos que $a=1$ y $b=0$. Sustituimos en la ecuación para $Q$: $$1 + 0 + 4c = 0 \Rightarrow 4c = -1 \Rightarrow c = -\frac{1}{4}$$ 4. Por tanto, los valores son: $$a=1, \quad b=0, \quad c=-\frac{1}{4}$$ --- 5. Segunda parte: Con $a=1$, $b=0$, $c=-\frac{1}{4}$, y $A(m,n)$ un punto en el arco, determinar $m$ y $n$ para que el área del triángulo rectángulo $ABC$ sea máxima. 6. La función es: $$y = 1 - \frac{1}{4}x^2$$ 7. El punto $A$ está en la curva, por lo que: $$n = 1 - \frac{1}{4}m^2$$ 8. El triángulo rectángulo $ABC$ tiene vértices $A(m,n)$, $B(m,0)$ y $C(0,1)$, con el ángulo recto en $B$. 9. El área del triángulo es: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura}$$ 10. La base es la distancia vertical entre $B(m,0)$ y $C(0,1)$: $$\text{base} = \sqrt{(m-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{m^2 + 1}$$ 11. La altura es la distancia vertical entre $A(m,n)$ y $B(m,0)$: $$\text{altura} = n - 0 = n = 1 - \frac{1}{4}m^2$$ 12. Por lo tanto, el área es: $$A(m) = \frac{1}{2} \times \sqrt{m^2 + 1} \times \left(1 - \frac{1}{4}m^2\right)$$ 13. Para maximizar $A(m)$, derivamos y igualamos a cero: $$A(m) = \frac{1}{2} \sqrt{m^2 + 1} \left(1 - \frac{1}{4}m^2\right)$$ 14. Derivamos usando producto y cadena: $$A'(m) = \frac{1}{2} \left[ \frac{m}{\sqrt{m^2 + 1}} \left(1 - \frac{1}{4}m^2\right) + \sqrt{m^2 + 1} \left(-\frac{1}{2}m\right) \right]$$ 15. Simplificamos: $$A'(m) = \frac{1}{2} \left[ \frac{m}{\sqrt{m^2 + 1}} \left(1 - \frac{1}{4}m^2\right) - \frac{1}{2} m \sqrt{m^2 + 1} \right]$$ 16. Multiplicamos por $2\sqrt{m^2 + 1}$ para eliminar denominadores y simplificar la búsqueda de raíces: $$2\sqrt{m^2 + 1} A'(m) = m \left(1 - \frac{1}{4}m^2\right) - \frac{1}{2} m (m^2 + 1) = 0$$ 17. Factorizamos $m$: $$m \left(1 - \frac{1}{4}m^2 - \frac{1}{2}m^2 - \frac{1}{2}\right) = 0$$ 18. Simplificamos dentro del paréntesis: $$1 - \frac{1}{4}m^2 - \frac{1}{2}m^2 - \frac{1}{2} = 1 - \frac{3}{4}m^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{3}{4}m^2$$ 19. Entonces: $$m \left( \frac{1}{2} - \frac{3}{4}m^2 \right) = 0$$ 20. Soluciones: - $m=0$ - $\frac{1}{2} - \frac{3}{4}m^2 = 0 \Rightarrow \frac{3}{4}m^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow m^2 = \frac{2}{3} \Rightarrow m = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$ 21. Evaluamos el área en estos valores para encontrar el máximo: - Para $m=0$: $$A(0) = \frac{1}{2} \times \sqrt{0 + 1} \times \left(1 - 0\right) = \frac{1}{2}$$ - Para $m = \frac{\sqrt{6}}{3}$: $$A\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{1}{2} \times \sqrt{\frac{2}{3} + 1} \times \left(1 - \frac{1}{4} \times \frac{2}{3}\right) = \frac{1}{2} \times \sqrt{\frac{5}{3}} \times \left(1 - \frac{1}{6}\right) = \frac{1}{2} \times \sqrt{\frac{5}{3}} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{12} \sqrt{\frac{5}{3}}$$ 22. Como $\frac{5}{12} \sqrt{\frac{5}{3}} \approx 0.67 > 0.5$, el área máxima se da en $m = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$. 23. Finalmente, calculamos $n$: $$n = 1 - \frac{1}{4} m^2 = 1 - \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$$ 24. Respuesta: $$m = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}, \quad n = \frac{5}{6}$$