1. Il problema chiede di determinare per quali valori di $k$ l'equazione $x^2 - 3x + k = 1$ soddisfa alcune condizioni. 2. Riscriviamo l'equazione in forma standard: $$x^2 - 3x + k - 1 = 0$$ 3. La formula del discriminante per un'equazione quadratica $ax^2 + bx + c = 0$ è: $$\Delta = b^2 - 4ac$$ 4. Qui, $a = 1$, $b = -3$, $c = k - 1$. Calcoliamo il discriminante: $$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (k - 1) = 9 - 4(k - 1) = 9 - 4k + 4 = 13 - 4k$$ 5. a. Per soluzioni reali distinte, il discriminante deve essere maggiore di zero: $$13 - 4k > 0$$ $$\Rightarrow 4k < 13$$ $$\Rightarrow k < \frac{13}{4}$$ 6. b. Per soluzioni coincidenti, il discriminante deve essere uguale a zero: $$13 - 4k = 0$$ $$\Rightarrow 4k = 13$$ $$\Rightarrow k = \frac{13}{4}$$ 7. c. Per verificare se una delle soluzioni è $1$, sostituiamo $x = 1$ nell'equazione originale: $$1^2 - 3 \cdot 1 + k = 1$$ $$1 - 3 + k = 1$$ $$k - 2 = 1$$ $$k = 3$$ **Risposte finali:** - a. $k < \frac{13}{4}$ - b. $k = \frac{13}{4}$ - c. $k = 3$