1. Énonçons le problème : Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} - u_n = 5 \times 0,8^n$ et en déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.\n\n2. Rappelons que la suite $(u_n)$ est définie par $u_n = -25 \times 0,8^n + 175$.\n\n3. Calculons $u_{n+1} - u_n$ en utilisant cette expression :\n$$u_{n+1} - u_n = \left(-25 \times 0,8^{n+1} + 175\right) - \left(-25 \times 0,8^n + 175\right)$$\n\n4. Simplifions l'expression :\n$$u_{n+1} - u_n = -25 \times 0,8^{n+1} + 175 + 25 \times 0,8^n - 175$$\n$$= 25 \times 0,8^n - 25 \times 0,8^{n+1}$$\n\n5. Factorisons $25 \times 0,8^n$ :\n$$u_{n+1} - u_n = 25 \times 0,8^n \times (1 - 0,8)$$\n\n6. Calculons $1 - 0,8 = 0,2$, donc :\n$$u_{n+1} - u_n = 25 \times 0,8^n \times 0,2$$\n\n7. Simplifions le produit :\n$$u_{n+1} - u_n = 5 \times 0,8^n$$\n\n8. Conclusion : pour tout $n$, $u_{n+1} - u_n = 5 \times 0,8^n$.\n\n9. Comme $0,8^n > 0$ pour tout $n$ et $5 > 0$, la différence $u_{n+1} - u_n$ est toujours positive.\n\n10. Donc, la suite $(u_n)$ est strictement croissante.