1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f(x) = x^2 - 4x + 3$ définie sur $\mathbb{R}$. 2. **Tableau de variations de $f$ :** - Calcul du dérivé : $f'(x) = 2x - 4$. - Trouvons les points critiques en résolvant $f'(x) = 0$ : $$2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2.$$ - Calcul de $f(2)$ : $$f(2) = 2^2 - 4 \times 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1.$$ - Le coefficient devant $x^2$ est positif, donc $f$ est décroissante sur $(-\infty, 2]$ et croissante sur $[2, +\infty)$. 3. **Points d'intersection de $(C_f)$ avec les axes :** - Axe des ordonnées ($x=0$) : $$f(0) = 0^2 - 4 \times 0 + 3 = 3,$$ donc point $(0,3)$. - Axe des abscisses ($f(x) = 0$) : Résolvons $x^2 - 4x + 3 = 0$ : $$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 16 - 12 = 4,$$ racines : $$x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}.$$ Donc $x=1$ et $x=3$. Points d'intersection : $(1,0)$ et $(3,0)$. 4. **Tracer la courbe $(C_f)$ :** - Parabole avec sommet en $(2,-1)$, passant par $(0,3)$, $(1,0)$, $(3,0)$. 5. **Déterminer graphiquement $f((0;2])$ :** - Sur $(0;2]$, $f$ décroît de $f(0)=3$ à $f(2)=-1$. - Donc $f((0;2]) = (-1,3)$. 6. **Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) \leq 0$ :** - $f(x) \leq 0$ entre les racines $x=1$ et $x=3$. - Solution : $[1,3]$. 7. **Fonction $g(x) = x^2 - 4|x| + 3$ :** - a. Parité : $$g(-x) = (-x)^2 - 4| -x| + 3 = x^2 - 4|x| + 3 = g(x),$$ donc $g$ est paire. - b. Pour $x \neq 0$, $g(x) = x^2 - 4|x| + 3$. Si $x > 0$, $g(x) = x^2 - 4x + 3 = f(x)$. Si $x < 0$, $g(x) = x^2 - 4(-x) + 3 = x^2 + 4x + 3$. Or $f(-x) = (-x)^2 - 4(-x) + 3 = x^2 + 4x + 3$, donc $g(x) = f(|x|)$. - Tableau de variations de $g$ : Puisque $g$ est paire, on étudie $g$ sur $[0, +\infty)$ comme $f$ sur $[0, +\infty)$. - c. Tracer $(C_g)$ : Symétrie de $(C_f)$ par rapport à l'axe $y$. - d. Résoudre graphiquement $g(x) \leq 3$ : $g(x) \leq 3$ équivaut à $x^2 - 4|x| + 3 \leq 3$, soit $x^2 - 4|x| \leq 0$. Factorisation : $$|x|(x - 4) \leq 0,$$ donc $x \in [-4,0] \cup [0,4]$. **Réponse finale :** - Tableau de variations de $f$ avec minimum en $x=2$. - Intersections : $(0,3)$, $(1,0)$, $(3,0)$. - $f((0;2]) = (-1,3)$. - Solution de $f(x) \leq 0$ : $[1,3]$. - $g$ est paire, $g(x) = f(|x|)$. - Solution de $g(x) \leq 3$ : $[-4,4]$.