1. Énonçons le problème : Étudier les variations de la fonction $f$ définie par $f(x) = e^{-2x + 3}$. 2. Rappelons la formule et les règles importantes : - La fonction exponentielle $e^u$ est strictement croissante en fonction de $u$. - Pour étudier les variations de $f(x) = e^{g(x)}$, il faut étudier le signe de la dérivée $f'(x) = g'(x) e^{g(x)}$. 3. Calculons la dérivée de $f$ : $$ f'(x) = \frac{d}{dx} e^{-2x + 3} = e^{-2x + 3} \times \frac{d}{dx}(-2x + 3) = e^{-2x + 3} \times (-2) = -2 e^{-2x + 3} $$ 4. Étudions le signe de $f'(x)$ : - $e^{-2x + 3} > 0$ pour tout $x$ car l'exponentielle est toujours positive. - Donc, le signe de $f'(x)$ dépend de $-2$, qui est négatif. 5. Conclusion sur les variations : - $f'(x) < 0$ pour tout $x$, donc $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. 6. Résumé : La fonction $f(x) = e^{-2x + 3}$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.