1. **Énoncé du problème :** Nous avons la fonction $g$ définie par $g(x) = x^3 - x^2 + 3x + 1$. 2. **Objectif :** - Dresser le tableau des variations de $g$. - Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $\mathbb{R}$. - Vérifier que $-0,3 < \alpha < -0,2$. 3. **Calcul de la dérivée de $g$ :** $$g'(x) = 3x^2 - 2x + 3$$ 4. **Étude du signe de $g'(x)$ :** Le discriminant de $g'$ est $$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 3 \times 3 = 4 - 36 = -32 < 0$$ Donc $g'(x)$ ne s'annule pas et est toujours du même signe. 5. **Signe de $g'(x)$ :** Le coefficient dominant $3$ est positif, donc $g'(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Cela signifie que $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. 6. **Conséquence sur $g$ :** Une fonction strictement croissante ne peut avoir qu'une seule racine. Donc l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$. 7. **Vérification de l'intervalle pour $\alpha$ :** Calculons $g(-0,3)$ : $$g(-0,3) = (-0,3)^3 - (-0,3)^2 + 3 \times (-0,3) + 1 = -0,027 - 0,09 - 0,9 + 1 = -0,017$$ Calculons $g(-0,2)$ : $$g(-0,2) = (-0,2)^3 - (-0,2)^2 + 3 \times (-0,2) + 1 = -0,008 - 0,04 - 0,6 + 1 = 0,352$$ 8. **Interprétation :** On a $g(-0,3) < 0$ et $g(-0,2) > 0$, donc par le théorème des valeurs intermédiaires, $\alpha$ est dans $(-0,3, -0,2)$. **Réponse finale :** La fonction $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. L'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$. De plus, $-0,3 < \alpha < -0,2$.