1. **Étudier les variations des fonctions f et g** - Pour $f(x) = x^2 - 2x$ : 1. Calculons la dérivée : $$f'(x) = 2x - 2$$ 2. Trouvons les points critiques en résolvant $f'(x) = 0$ : $$2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1$$ 3. Étudions le signe de $f'(x)$ : - Pour $x < 1$, $f'(x) < 0$ donc $f$ décroît. - Pour $x > 1$, $f'(x) > 0$ donc $f$ croît. 4. Conclusion : $f$ décroît sur $]-\infty, 1]$ et croît sur $[1, +\infty[$. - Pour $g(x) = \sqrt{x}$ : 1. Domaine de définition : $x \geq 0$. 2. Dérivée : $$g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} > 0 \text{ pour } x > 0$$ 3. Conclusion : $g$ est strictement croissante sur $[0, +\infty[$. 2. **Fonction $h = f \circ g$** - a. Domaine de définition $D_h$ : 1. $g$ est définie sur $[0, +\infty[$. 2. $f$ est définie sur $\mathbb{R}$. 3. Donc $D_h = [0, +\infty[$. - b. Calcul de $h(x)$ pour $x \in D_h$ : $$h(x) = f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = (\sqrt{x})^2 - 2\sqrt{x} = x - 2\sqrt{x}$$ 3. **Étudier les variations de $h$ sur $[0,1]$ et $[1, +\infty[$** - Dérivée de $h$ : $$h'(x) = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}$$ - Sur $]0, +\infty[$ : - Pour $x < 1$, $\sqrt{x} < 1$ donc $\frac{1}{\sqrt{x}} > 1$ donc $h'(x) < 0$ (décroissante). - Pour $x > 1$, $\sqrt{x} > 1$ donc $\frac{1}{\sqrt{x}} < 1$ donc $h'(x) > 0$ (croissante). - En $x=1$, $h'(1) = 0$. - Conclusion : $h$ décroît sur $[0,1]$ et croît sur $[1, +\infty[$. 4. **Montrer que $h$ admet un minimum en 1** - Comme $h$ décroît avant 1 et croît après 1, $x=1$ est un minimum local. - Calculons $h(1)$ : $$h(1) = 1 - 2 \times 1 = -1$$ 5. **Fonction $k = g \circ f$** - a. Domaine de définition $D_k$ : 1. $g(x) = \sqrt{x}$ défini pour $x \geq 0$. 2. Donc $f(x) \geq 0$. 3. Résolvons $f(x) = x^2 - 2x \geq 0$ : $$x(x - 2) \geq 0$$ - $x \leq 0$ ou $x \geq 2$. 4. Donc $D_k = ]-\infty, 0] \cup [2, +\infty[$. - b. Étudier les variations de $k$ sur $]-\infty, 0]$ et $[2, +\infty[$ : - Calcul de $k(x)$ : $$k(x) = g(f(x)) = \sqrt{x^2 - 2x}$$ - Dérivée : $$k'(x) = \frac{2x - 2}{2\sqrt{x^2 - 2x}} = \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 2x}}$$ - Sur $]-\infty, 0]$ : - $x - 1 < 0$ donc $k'(x) < 0$ (décroissante). - Sur $[2, +\infty[$ : - $x - 1 > 0$ donc $k'(x) > 0$ (croissante). - c. Calcul de $k(x)$ pour $x \in D_k$ : $$k(x) = \sqrt{x^2 - 2x}$$ --- **Slug**: "variations_compositions" **Subject**: "algebra" **Desmos**: {"latex": "y = (\sqrt{x})^2 - 2\sqrt{x}", "features": {"intercepts": true, "extrema": true}} **q_count**: 5