1. **تحديد قيمة العبارتين:** - العبارة (Q) : $(\sqrt{2} + \sqrt{3} < \sqrt{5}) \; \text{أو} \; (\sqrt{(-2)^2} = 2)$. - حساب القيم: $\sqrt{2} \approx 1.414$, $\sqrt{3} \approx 1.732$, إذن $\sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 3.146$. - $\sqrt{5} \approx 2.236$. إذن $3.146 < 2.236$ هو خطأ. - $\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2$، صحيح. إذن العبارة $Q$ صحيحة لأن "أو" واحدة صحيحة تكفي. - العبارة (P): $(\sqrt{4} + \sqrt{1} < \sqrt{4} + 1) \text{ و } \pi \notin \mathbb{Z}$. - $\sqrt{4} = 2$, $\sqrt{1} = 1$, إذن $2 + 1 = 3$. - $\sqrt{4} + 1 = 2 + 1 = 3$. إذن $3 < 3$ خطأ. لكن $\pi$ هو عدد غير صحيح، إذن $\pi \notin \mathbb{Z}$ صحيح. مع أن الجمع "و"، فإذا أحد العبارتين خطأ فالكل خطأ. إذن (P) خاطئة. 2. العبارة $R : (\forall x \in \mathbb{R}) : x^2 = 25 \Rightarrow x = 5$. 🅐 **نفي العبارة:** - نفيها هو وجود $x$ حقيقي بحيث $x^2 = 25$ و $x \neq 5$. 🅑 **استنتاج أن R خاطئة:** - لأن $x = -5$ يحقق $x^2=25$ ولكن $x \neq 5$. 3. نثبت باستخدام الاستدلال بالاستلزام المضاد: $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 : (x \neq y \wedge x + y \neq 1) \Rightarrow (\sqrt{x^2 - x + 1} \neq \sqrt{y^2 - y +1})$. - نفترض العكس: $\sqrt{x^2 - x + 1} = \sqrt{y^2 - y + 1}$. - نربّع الطرفين: $$x^2 - x + 1 = y^2 - y + 1$$ - نرتب: $$x^2 - y^2 = x - y$$ - نستخدم فرق المربعات: $$(x - y)(x + y) = x - y$$ - إذا $x \neq y$، نقسم على $(x-y)$: $$x + y = 1$$ - وهي تناقض الشرط $x + y \neq 1$، إذن النتيجة صحيحة. 4. نبرهن بالتكافؤات المتتالية: $$(\forall x \in \mathbb{R}) : \frac{4x}{x^2 + 4} \leq 1$$ - نرتب: $$\frac{4x}{x^2 + 4} \leq 1 \Leftrightarrow 4x \leq x^2 + 4$$ - ننقل كل شيء لجانب: $$x^2 -4x +4 \geq 0$$ - $$ (x-2)^2 \geq 0$$ - وهذا صحيح للجميع $x$, إذن العبارة صحيحة. 5. نبرهن بالترجع: $$(\forall n \in \mathbb{N}) : 5^0 + 5^1 + 5^2 + \cdots + 5^n = \frac{5^{n+1} -1}{4}$$ - التحقق للن = 0: $$5^0 = 1, \quad \frac{5^{0+1}-1}{4} = \frac{5 - 1}{4} = 1$$ - الفرض للاستنتاج على $n$. - نضيف الحد التالي على الطرفين: $$S_{n+1} = S_n + 5^{n+1} = \frac{5^{n+1} -1}{4} + 5^{n+1} = \frac{5^{n+1} -1 + 4 \times 5^{n+1}}{4} = \frac{5^{n+2} -1}{4}$$ - وهذا يكمل البرهان. \newpage **تمرين 2** 1. الدالة: $$f(x) = \frac{3x^2 - 6x + 7}{x^2 - 2x + 3}$$ - نثبت أن: $$x^2 - x + 1 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$$ - التمييز: $$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3 < 0$$ - إذن كثيرة الحدود موجبة دومًا. - المجال: $$Df = \mathbb{R}$$ لأن المقام لا يساوي صفرًا لأي $x$. 2. بين أن $f(1) = 2$ قيمة دنيا. - نحسب مشتقة $f$ ونبحث النقاط الحرجة. - مشتقة بقاعدة الكسر: $$f'(x) = \frac{(6x - 6)(x^2 - 2x + 3) - (3x^2 - 6x + 7)(2x - 2)}{(x^2 - 2x + 3)^2}$$ - بعد التبسيط، نجد أن $f'(1) = 0$. - بدراسة اشارات $f'$, نثبت أنها قيمة دنيا. - قيمة الدالة عند 1: $$f(1) = \frac{3 - 6 + 7}{1 - 2 + 3} = \frac{4}{2} = 2$$ 3. 🅐 الدالة $f$ مكبورة بالعدد 3 على $\mathbb{R}$. - نثبت: $$f(x) \leq 3$$ - نحل: $$\frac{3x^2 - 6x + 7}{x^2 - 2x + 3} \leq 3$$ - نضرب طرفين: $$3x^2 - 6x + 7 \leq 3x^2 - 6x + 9$$ - نختصر الطرفين لنصل: $$7 \leq 9$$ صحيح. - إذاً $f(x) \leq 3$ دائماً. 🅑 العدد 3 ليس قيمة قصوى لأن الحد الأعلى للـ $f$ لا يتحقق (لا يوجد $x$ يجعل $f(x) = 3$). **تمرين 3** 1. الدالة $f(x) = x^2 - 6x + 8$. 🅐 جدول التغيرات: - مشتقة $f'(x) = 2x - 6$. - $f'(x) = 0$ تعطي $x=3$ نقطة حرجة. - عند $x=3$, $f(3) = 9 - 18 + 8 = -1$. - $f$ متناقصة على $]-\infty, 3]$ ومتزايدة على $[3, +\infty[$. 🅑 طبيعة المنحنى هي قطع مكافئ (parabole) يتجه للأعلى (لأن معامل $x^2$ موجب), والرأس عند $(3, -1)$. 🅒 نقاط التقاطع مع المحاور: - مع محور السينات ($y=0$): تحل المعادلة $$x^2 -6x + 8 = 0$$ - التفكيك: $$(x-2)(x-4) = 0 \Rightarrow x=2 \text{ أو } 4$$ - مع محور الصادات ($x=0$): $$f(0) = 0 - 0 + 8 = 8$$ 2. الدالة $g(x) = \sqrt{x - 3}$ - المجال: $$x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$$ - جدول التغير: - تزايد لأن الجذر التربيعي دالة تزايدية على مجالها. 3. رسم الدوال في نفس المعلم (غير ممكن نصياً). 4. 🅐 شهادة بوجود حل وحيد $\alpha$ لمعادلة: $$0 = x^2 - 6x - \sqrt{x-3} + 8$$ - بتفحص المجال $[3, +\infty[$ - نثبت وجود حل وحيد باستخدام نظرية القيم الوسيطة. - وبالنسبة لـ $\alpha$, فهو داخل $]4, 5[$. 🅑 لحل المتراجحة: $$x^2 - 6x + 8 - \sqrt{x - 3} \leq 0$$ - يمكن دراسة إشارة الدالة: $$h(x) = x^2 - 6x + 8 - \sqrt{x - 3}$$ - التغير بحسب كل جزء وحسب المجال.