1. Problema: Se dau punctele A(2,3), B(-1,5) și O(0,0) în planul cartezian. 2. a) Determinarea coordonatelor vectorilor: - Vectorul $\vec{OA}$ are coordonatele punctului A față de origine: $\vec{OA} = (2,3)$. - Vectorul $\vec{OB}$ are coordonatele punctului B față de origine: $\vec{OB} = (-1,5)$. - Vectorul $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (-1 - 2, 5 - 3) = (-3, 2)$. - Vectorul $\vec{BA} = \vec{OA} - \vec{OB} = (2 - (-1), 3 - 5) = (3, -2)$. 3. b) Coordonatele mijlocului segmentului AB se calculează cu formula: $$M = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\frac{2 + (-1)}{2}, \frac{3 + 5}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 4\right)$$ 4. c) Modulul vectorului $\vec{AB}$ este: $$|\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$$ 5. d) Calculăm vectorul $\vec{w} = 2\vec{OA} - 3\vec{OB} + 4\vec{AB} - 2\vec{BA}$: - $2\vec{OA} = 2(2,3) = (4,6)$ - $-3\vec{OB} = -3(-1,5) = (3,-15)$ - $4\vec{AB} = 4(-3,2) = (-12,8)$ - $-2\vec{BA} = -2(3,-2) = (-6,4)$ Adunăm componentele: $$\vec{w} = (4,6) + (3,-15) + (-12,8) + (-6,4) = (4 + 3 - 12 - 6, 6 - 15 + 8 + 4) = (-11, 3)$$ Răspuns final: - $\vec{OA} = (2,3)$ - $\vec{OB} = (-1,5)$ - $\vec{AB} = (-3,2)$ - $\vec{BA} = (3,-2)$ - Mijlocul segmentului AB: $\left(\frac{1}{2}, 4\right)$ - Modulul lui $\vec{AB}$: $\sqrt{13}$ - Vectorul $\vec{w} = (-11, 3)$