1. نُعطى الشعاعين $$\mathbf{u} = \begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix}$$ و $$\mathbf{v} = \begin{pmatrix}z^2 - 1 \\ z + 1\end{pmatrix}$$ ونريد إيجاد قيمة العدد الحقيقي $$w$$ بحيث $$\mathbf{u} = w \mathbf{v}$$. 2. هذا يعني أن كل مركبة من $$\mathbf{u}$$ تساوي $$w$$ مضروبًا في المركبة المقابلة من $$\mathbf{v}$$، أي: $$\begin{cases} 1 = w (z^2 - 1) \\ 3 = w (z + 1) \end{cases}$$ 3. من المعادلتين، يمكننا التعبير عن $$w$$ من كل معادلة: $$w = \frac{1}{z^2 - 1}$$ و $$w = \frac{3}{z + 1}$$ 4. بما أن $$w$$ يجب أن تكون قيمة واحدة، نساوي التعبيرين: $$\frac{1}{z^2 - 1} = \frac{3}{z + 1}$$ 5. نضرب طرفي المعادلة في $$ (z^2 - 1)(z + 1) $$ لإزالة المقامات: $$ (z + 1) = 3 (z^2 - 1) $$ 6. نوزع ونبسط: $$ z + 1 = 3z^2 - 3 $$ 7. ننقل كل الحدود إلى جهة واحدة: $$ 0 = 3z^2 - z - 4 $$ 8. نستخدم صيغة المعادلة التربيعية لحل: $$ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ حيث $$a=3$$، $$b=-1$$، $$c=-4$$. 9. نحسب المميز: $$ \Delta = (-1)^2 - 4 \times 3 \times (-4) = 1 + 48 = 49 $$ 10. إذن الجذور: $$ z = \frac{1 \pm 7}{6} $$ 11. الحلول: - $$ z = \frac{1 + 7}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} $$ - $$ z = \frac{1 - 7}{6} = \frac{-6}{6} = -1 $$ 12. نتحقق من أن المقام لا يساوي صفرًا: - إذا $$z = -1$$، فإن $$z + 1 = 0$$ وهذا يجعل $$w$$ غير معرف، إذًا نرفض هذا الحل. 13. إذًا الحل المقبول هو $$z = \frac{4}{3}$$. 14. نحسب قيمة $$w$$ باستخدام هذا $$z$$: $$ w = \frac{1}{z^2 - 1} = \frac{1}{(\frac{4}{3})^2 - 1} = \frac{1}{\frac{16}{9} - 1} = \frac{1}{\frac{7}{9}} = \frac{9}{7} $$ 15. إذًا، قيمة $$w$$ هي $$\frac{9}{7}$$ و $$z = \frac{4}{3}$$ بحيث $$\mathbf{u} = w \mathbf{v}$$. النتيجة النهائية: $$ z = \frac{4}{3}, \quad w = \frac{9}{7} $$