1. Planteamos el problema: Encontrar el vértice y los puntos de corte con los ejes de la parábola dada por la función $$y = -2x^2 - 2x + 4$$. 2. Fórmulas importantes: - El vértice de una parábola $$y = ax^2 + bx + c$$ se encuentra en $$x = -\frac{b}{2a}$$. - El punto del vértice es $$\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$$. - Los puntos de corte con el eje $$y$$ se encuentran evaluando $$x=0$$. - Los puntos de corte con el eje $$x$$ se encuentran resolviendo $$y=0$$. 3. Calculamos el vértice: $$a = -2, \quad b = -2, \quad c = 4$$ $$x_v = -\frac{-2}{2 \times -2} = -\frac{-2}{-4} = -\frac{1}{2}$$ 4. Evaluamos $$y$$ en $$x_v = -\frac{1}{2}$$: $$y_v = -2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 2\left(-\frac{1}{2}\right) + 4 = -2\times \frac{1}{4} + 1 + 4 = -\frac{1}{2} + 1 + 4 = 4.5$$ 5. El vértice es $$\left(-\frac{1}{2}, 4.5\right)$$. 6. Punto de corte con eje $$y$$ (evaluamos en $$x=0$$): $$y = -2(0)^2 - 2(0) + 4 = 4$$ Punto: $$(0,4)$$ 7. Puntos de corte con eje $$x$$ (resolvemos $$y=0$$): $$-2x^2 - 2x + 4 = 0$$ Dividimos toda la ecuación por $$-2$$ para simplificar: $$\cancel{-2}x^2 + \cancel{-2}x - \cancel{4} = 0 \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0$$ 8. Factorizamos: $$(x + 2)(x - 1) = 0$$ 9. Soluciones: $$x = -2 \quad \text{o} \quad x = 1$$ 10. Puntos de corte con eje $$x$$: $$(-2, 0)$$ y $$(1, 0)$$ 11. Resumen: - Vértice: $$\left(-\frac{1}{2}, 4.5\right)$$ - Corte con eje $$y$$: $$(0,4)$$ - Cortes con eje $$x$$: $$(-2,0)$$ y $$(1,0)$$ 12. Con estos puntos podemos esbozar la gráfica de la parábola que abre hacia abajo (porque $$a = -2 < 0$$).