1. El problema es graficar la función $$y = e^{2x} - x^2 + 1$$ y hallar el valor del vértice. 2. Para encontrar el vértice de una función, primero calculamos la derivada para encontrar los puntos críticos donde la pendiente es cero. 3. Derivamos la función: $$y' = \frac{d}{dx}\left(e^{2x} - x^2 + 1\right) = 2e^{2x} - 2x$$ 4. Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$2e^{2x} - 2x = 0$$ $$\Rightarrow e^{2x} = x$$ 5. Esta ecuación no se puede resolver analíticamente con funciones elementales, por lo que se debe resolver numéricamente o gráficamente. 6. Aproximando, el punto crítico está cerca de $$x = 0.5$$ (se puede usar métodos numéricos para mayor precisión). 7. Evaluamos la función en $$x = 0.5$$ para hallar el valor del vértice: $$y(0.5) = e^{2(0.5)} - (0.5)^2 + 1 = e^{1} - 0.25 + 1 = 2.71828 - 0.25 + 1 = 3.46828$$ 8. Por lo tanto, el vértice aproximado es $$\left(0.5, 3.46828\right)$$. 9. La gráfica de la función muestra un máximo local cerca de este punto. 10. Para graficar, se puede usar software o calculadora que permita visualizar la función y sus características.