1. Das Problem lautet: Wie viele vierstellige Zahlen gibt es, die durch 4 teilbar sind und deren Ziffern alle unterschiedlich sind? 2. Wichtige Regeln: - Eine vierstellige Zahl hat die Form $ABCD$ mit $A \neq 0$. - Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten zwei Ziffern $CD$ durch 4 teilbar sind. - Alle Ziffern $A, B, C, D$ müssen verschieden sein. 3. Vorgehen: - Zuerst bestimmen wir alle möglichen Paare $CD$, die durch 4 teilbar sind und aus unterschiedlichen Ziffern bestehen. - Dann wählen wir $A$ und $B$ aus den verbleibenden Ziffern, wobei $A \neq 0$ und alle Ziffern verschieden sind. 4. Schritt 1: Mögliche $CD$-Paare: - $CD$ kann von 00 bis 99 gehen, aber $C$ und $D$ müssen unterschiedlich sein. - Wir listen alle zweistelligen Zahlen durch 4 teilbar auf, bei denen $C \neq D$. - Die durch 4 teilbaren Zahlen zwischen 00 und 99 sind: 00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96. - Entfernen wir Paare mit gleichen Ziffern: 00, 44, 88 fallen weg. - Übrig bleiben 22 Paare: 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 92, 96. 5. Schritt 2: Für jedes Paar $CD$ wählen wir $A$ und $B$: - $A$ kann jede Ziffer von 1 bis 9 sein, außer $C$ und $D$. - $B$ kann jede Ziffer von 0 bis 9 sein, außer $A$, $C$, $D$. 6. Berechnung der Anzahl: - Für jedes Paar $CD$: - Anzahl möglicher $A$ ist $9 -$ (Anzahl von $C$ und $D$ in 1..9). - Anzahl möglicher $B$ ist $10 - 3 = 7$ (weil $A$, $C$, $D$ sind schon belegt). 7. Beispiel: Paar $CD=04$: - $C=0$, $D=4$ - $A$ kann 1..9 außer 4 wählen, also 8 Möglichkeiten. - $B$ kann 0..9 außer $A$, 0, 4 wählen, also 7 Möglichkeiten. - Für $CD=04$ gibt es $8 \times 7 = 56$ Möglichkeiten. 8. Wir berechnen für alle Paare: - Paare mit $C=0$ oder $D=0$ reduzieren $A$ um 1, da 0 ist nicht in $A$ Bereich (1..9), also $A$ hat 8 Möglichkeiten. - Paare ohne 0 in $C$ oder $D$ haben $A$ 7 Möglichkeiten (weil $C$ und $D$ beide in 1..9 und verschieden, also 2 Ziffern ausgeschlossen). 9. Zählen wir Paare mit 0: - Paare mit 0: 04, 08, 20, 40, 60, 80 - Für diese Paare $A=8$, $B=7$, also $56$ Möglichkeiten pro Paar. - Anzahl solcher Paare: 6 - Gesamt: $6 \times 56 = 336$ 10. Paare ohne 0: - 22 Paare insgesamt - 6 mit 0 = 16 Paare - Für diese Paare $A=7$, $B=7$, also $49$ Möglichkeiten pro Paar. - Gesamt: $16 \times 49 = 784$ 11. Gesamtanzahl vierstelliger Zahlen: $$336 + 784 = 1120$$ Antwort: Es gibt $\boxed{1120}$ vierstellige Zahlen mit unterschiedlichen Ziffern, die durch 4 teilbar sind.