1. We beginnen met het probleem: we zoeken het grootste getal $n$ zodat elk paar opeenvolgende getallen $(n, n+1)$ volkomen kwadraten zijn. 2. Een volkomen kwadraat is een getal dat geschreven kan worden als $k^2$ voor een geheel getal $k$. 3. We willen dus $n = a^2$ en $n+1 = b^2$ voor gehele getallen $a$ en $b$. 4. Dit betekent dat $b^2 - a^2 = 1$. 5. We gebruiken de factorisatie van het verschil van kwadraten: $$b^2 - a^2 = (b - a)(b + a) = 1$$ 6. Omdat $b$ en $a$ gehele getallen zijn, moeten $(b - a)$ en $(b + a)$ gehele delers van 1 zijn. 7. De enige gehele delers van 1 zijn 1 en -1, dus: $$(b - a) = 1 \quad \text{en} \quad (b + a) = 1$$ 8. Optellen geeft: $$2b = 2 \Rightarrow b = 1$$ 9. Aftrekken geeft: $$2a = 0 \Rightarrow a = 0$$ 10. Dit betekent $n = a^2 = 0^2 = 0$ en $n+1 = 1^2 = 1$. 11. Er is geen ander paar van opeenvolgende gehele getallen die beide volkomen kwadraten zijn, want het verschil van twee kwadraten is 1 alleen mogelijk voor $a=0$ en $b=1$. 12. Conclusie: het grootste getal $n$ waarvoor $n$ en $n+1$ beide volkomen kwadraten zijn, is $0$. Antwoord: $\boxed{0}$