1. **Problema:** Encontrar a função volume $V(x)$ de uma caixa feita a partir de um retângulo de papelão, onde $x$ é o tamanho do recorte quadrado nas extremidades. 2. **Fórmula usada:** O volume da caixa é dado por $$V = (L - 2x)(W - 2x)x$$ onde $L$ é o comprimento, $W$ é a largura do papelão, e $x$ é a altura da caixa (tamanho do recorte). 3. **Aplicando as medidas:** Para o retângulo de $70$ cm de largura e $50$ cm de comprimento, temos: $$V(x) = (70 - 2x)(50 - 2x)x$$ 4. **Expansão da função:** Primeiro expandimos o produto: $$(70 - 2x)(50 - 2x) = 70 \times 50 - 70 \times 2x - 2x \times 50 + 4x^2 = 3500 - 140x - 100x + 4x^2 = 3500 - 240x + 4x^2$$ 5. **Função volume completa:** Multiplicando pelo $x$: $$V(x) = x(3500 - 240x + 4x^2) = 3500x - 240x^2 + 4x^3$$ 6. **Interpretação:** Essa função mostra o volume da caixa em função do tamanho do recorte $x$. O domínio válido é $0 < x < 25$ (pois $x$ não pode ser maior que metade da menor dimensão para formar a caixa). 7. **Resumo:** A função volume é $$\boxed{V(x) = 4x^3 - 240x^2 + 3500x}$$ para $0 < x < 25$. 8. **Dica:** Para encontrar o volume máximo, pode-se derivar $V(x)$ e igualar a zero para achar os pontos críticos.