1. **Problem statement:** Der Wildbestand eines Naturparks nimmt exponentiell ab und sinkt innerhalb von 5 Jahren um 4%. Im Jahr 2010 wurden 1780 Tiere gezählt. 2. **Formel für exponentiellen Zerfall:** Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion für Zerfall ist: $$N(t) = N_0 \cdot a^t$$ Dabei ist: - $N(t)$ die Anzahl der Tiere nach $t$ Jahren, - $N_0$ die Anfangsanzahl, - $a$ die Basis der Exponentialfunktion (Wachstumsfaktor pro Jahr), - $t$ die Zeit in Jahren seit dem Startjahr (2010). 3. **Bestimmung des Wachstumsfaktors $a$:** Innerhalb von 5 Jahren sinkt der Bestand um 4%, also verbleiben 96%: $$N(5) = N_0 \cdot a^5 = 0{,}96 \cdot N_0$$ Dividieren wir beide Seiten durch $N_0$: $$a^5 = 0{,}96$$ Um $a$ zu finden, ziehen wir die fünfte Wurzel: $$a = \sqrt[5]{0{,}96} = 0{,}96^{\frac{1}{5}}$$ 4. **Berechnung von $a$:** $$a = 0{,}96^{0{,}2} \approx 0{,}99192$$ 5. **Exponentialfunktion aufstellen:** $$N(t) = 1780 \cdot 0{,}99192^t$$ Hier ist $t=0$ im Jahr 2010. 6. **Berechnung der Tieranzahl im Jahr 2000:** Das Jahr 2000 ist 10 Jahre vor 2010, also $t = -10$: $$N(-10) = 1780 \cdot 0{,}99192^{-10}$$ Zwischenschritt mit gekürztem Exponenten: $$0{,}99192^{-10} = \frac{1}{0{,}99192^{10}}$$ Berechnung: $$0{,}99192^{10} \approx 0{,}9197$$ Also: $$N(-10) = 1780 \cdot \frac{1}{0{,}9197} \approx 1780 \cdot 1{,}087 = 1934$$ 7. **Berechnung der Tieranzahl im Jahr 2030:** Das Jahr 2030 ist 20 Jahre nach 2010, also $t=20$: $$N(20) = 1780 \cdot 0{,}99192^{20}$$ Berechnung: $$0{,}99192^{20} = (0{,}99192^{10})^2 \approx 0{,}9197^2 = 0{,}846$$ Also: $$N(20) = 1780 \cdot 0{,}846 = 1505$$ 8. **Überprüfung der Aussage: Innerhalb von 20 Jahren nimmt der Bestand um 15% ab:** Berechne den prozentualen Rückgang: $$\text{Rückgang} = 1 - \frac{N(20)}{N_0} = 1 - \frac{1505}{1780} = 1 - 0{,}8455 = 0{,}1545 = 15{,}45\%$$ Die Aussage ist also korrekt, der Bestand sinkt um etwa 15% in 20 Jahren. **Endergebnis:** Die Exponentialfunktion lautet: $$N(t) = 1780 \cdot 0{,}99192^t$$ Im Jahr 2000 gab es ca. 1934 Tiere. Im Jahr 2030 werden ca. 1505 Tiere erwartet. Der Bestand sinkt in 20 Jahren um ca. 15%.