1. **Problem statement for Aufgabe 2a:** Berechne $$\sqrt[4]{6^3} \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{6^7}}$$. 2. **Formula and rules:** Wurzeln mit gleicher Wurzelzahl können als Potenzen mit rationalen Exponenten geschrieben werden: $$\sqrt[4]{6^3} = 6^{\frac{3}{4}}$$ und $$\sqrt[4]{6^7} = 6^{\frac{7}{4}}$$. 3. **Rewrite the expression:** $$6^{\frac{3}{4}} \cdot 6^{-\frac{7}{4}}$$ 4. **Addiere die Exponenten bei gleicher Basis:** $$6^{\frac{3}{4} + \left(-\frac{7}{4}\right)} = 6^{\frac{3}{4} - \frac{7}{4}} = 6^{-\frac{4}{4}} = 6^{-1}$$ 5. **Endergebnis:** $$6^{-1} = \frac{1}{6}$$ 1. **Problem statement for Aufgabe 2b:** Berechne $$\left(\sqrt[4]{c^3}\right)^2 \cdot \left(\sqrt{c^3}\right)^{-1}$$ mit $$c \neq 0$$. 2. **Formeln und Regeln:** $$\sqrt[4]{c^3} = c^{\frac{3}{4}}$$ $$\sqrt{c^3} = c^{\frac{3}{2}}$$ 3. **Setze die Potenzen ein:** $$\left(c^{\frac{3}{4}}\right)^2 \cdot \left(c^{\frac{3}{2}}\right)^{-1} = c^{\frac{3}{4} \cdot 2} \cdot c^{-\frac{3}{2}} = c^{\frac{6}{4}} \cdot c^{-\frac{3}{2}}$$ 4. **Addiere die Exponenten:** $$c^{\frac{6}{4} + \left(-\frac{3}{2}\right)} = c^{\frac{6}{4} - \frac{3}{2}}$$ 5. **Bringe beide Brüche auf den gleichen Nenner:** $$\frac{6}{4} = \frac{6}{4}, \quad \frac{3}{2} = \frac{6}{4}$$ 6. **Berechne die Summe:** $$\frac{6}{4} - \frac{6}{4} = 0$$ 7. **Endergebnis:** $$c^0 = 1$$ --- 1. **Problem statement for Aufgabe 3:** Zeige, dass die Sonne (2,0 \cdot 10^{30} kg) schwerer ist als alle Planeten zusammen. 2. **Gegebene Massen der Planeten:** Merkur: $$3,3 \cdot 10^{23}$$ Venus: $$4,9 \cdot 10^{24}$$ Erde: $$6,0 \cdot 10^{24}$$ Mars: $$6,4 \cdot 10^{23}$$ Jupiter: $$1,9 \cdot 10^{27}$$ Saturn: $$5,7 \cdot 10^{26}$$ Uranus: $$8,7 \cdot 10^{25}$$ Neptun: $$1,0 \cdot 10^{26}$$ 3. **Wichtig:** Die Gesamtmasse der Planeten muss nicht exakt berechnet werden. 4. **Beobachtung:** Die größte Planetmasse ist die von Jupiter mit $$1,9 \cdot 10^{27}$$ kg. 5. **Summe der Exponenten:** Die Exponenten der Planetenmassen liegen zwischen $$10^{23}$$ und $$10^{27}$$, also ist die Summe der Massen aller Planeten deutlich kleiner als $$10^{28}$$. 6. **Vergleich mit Sonnenmasse:** Die Sonnenmasse ist $$2,0 \cdot 10^{30}$$ kg, also mindestens 100-mal größer als die Summe aller Planetenmassen. 7. **Schlussfolgerung:** Die Sonne ist schwerer als alle Planeten zusammen.