1. Problem: Schreibe mit einer Wurzel und berechne die folgenden Ausdrücke. 2. Wurzelgesetze: - Die n-te Wurzel von a ist $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$. - Wurzeln können ineinander verschachtelt werden, z.B. $\sqrt{\sqrt{a}} = a^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{4}}$. 3. a) $\sqrt{\sqrt{256}}$ - Schreibe die innere Wurzel als Potenz: $\sqrt{256} = 256^{\frac{1}{2}}$ - Dann die äußere Wurzel: $\sqrt{256^{\frac{1}{2}}} = (256^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} = 256^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = 256^{\frac{1}{4}}$ - Berechne $256^{\frac{1}{4}}$: $256 = 4^4$, also $256^{\frac{1}{4}} = 4$ 4. b) $\sqrt{\sqrt[3]{729}}$ - Schreibe $\sqrt[3]{729} = 729^{\frac{1}{3}}$ - Dann $\sqrt{729^{\frac{1}{3}}} = (729^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}} = 729^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} = 729^{\frac{1}{6}}$ - Berechne $729^{\frac{1}{6}}$: $729 = 3^6$, also $729^{\frac{1}{6}} = 3$ 5. c) $\sqrt[3]{\sqrt{64}}$ - Schreibe $\sqrt{64} = 64^{\frac{1}{2}}$ - Dann $\sqrt[3]{64^{\frac{1}{2}}} = (64^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}} = 64^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 64^{\frac{1}{6}}$ - Berechne $64^{\frac{1}{6}}$: $64 = 2^6$, also $64^{\frac{1}{6}} = 2$ 6. d) $\sqrt{\sqrt[3]{6561}}$ - Schreibe $\sqrt[3]{6561} = 6561^{\frac{1}{3}}$ - Dann $\sqrt{6561^{\frac{1}{3}}} = (6561^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}} = 6561^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} = 6561^{\frac{1}{6}}$ - Berechne $6561^{\frac{1}{6}}$: $6561 = 3^8$, also $6561^{\frac{1}{6}} = 3^{\frac{8}{6}} = 3^{\frac{4}{3}} = 3^{1 + \frac{1}{3}} = 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot \sqrt[3]{3}$ 7. e) $\sqrt[4]{\sqrt{65536}}$ - Schreibe $\sqrt{65536} = 65536^{\frac{1}{2}}$ - Dann $\sqrt[4]{65536^{\frac{1}{2}}} = (65536^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{4}} = 65536^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}} = 65536^{\frac{1}{8}}$ - Berechne $65536^{\frac{1}{8}}$: $65536 = 2^{16}$, also $65536^{\frac{1}{8}} = 2^{16 \cdot \frac{1}{8}} = 2^2 = 4$ Antworten: a) 4 b) 3 c) 2 d) $3 \cdot \sqrt[3]{3}$ e) 4