1. Problem: Vereinfachen und Wurzel ziehen verschiedener Ausdrücke. 1. a) Berechne $\sqrt{32} \cdot \sqrt{8}$. Formel: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$. Also: $\sqrt{32} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{32 \times 8} = \sqrt{256} = 16$. 1. b) Berechne $\sqrt{\frac{5}{8}} \cdot \sqrt{40}$. Formel: $\sqrt{\frac{a}{b}} \cdot \sqrt{c} = \sqrt{\frac{a}{b} \cdot c}$. Also: $\sqrt{\frac{5}{8}} \cdot \sqrt{40} = \sqrt{\frac{5}{8} \times 40} = \sqrt{\frac{5 \times 40}{8}} = \sqrt{\frac{200}{8}} = \sqrt{25} = 5$. 1. c) Berechne $\sqrt{0,16} \cdot 324$. Zuerst $\sqrt{0,16} = 0,4$ (da $0,4^2 = 0,16$). Dann: $0,4 \times 324 = 129,6$. 1. d) Berechne $\frac{\sqrt{1,8}}{\sqrt{0,2}}$. Formel: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$. Also: $\frac{\sqrt{1,8}}{\sqrt{0,2}} = \sqrt{\frac{1,8}{0,2}} = \sqrt{9} = 3$. 1. e) Berechne $\sqrt{\frac{0,49}{0,0064}}$. Berechne Bruch: $\frac{0,49}{0,0064} = 76,5625$. Dann: $\sqrt{76,5625} = 8,75$. 1. f) Berechne $\sqrt{14x} \cdot \sqrt{2xy} \cdot \sqrt{7y}$. Formel: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} = \sqrt{a \cdot b \cdot c}$. Also: $\sqrt{14x \times 2xy \times 7y} = \sqrt{14 \times 2 \times 7 \times x \times x \times y \times y} = \sqrt{196 x^2 y^2} = 14xy$. 1. g) Berechne $\sqrt{\frac{169a^2}{225b^4}}$. Formel: $\sqrt{\frac{a^2}{b^2}} = \frac{a}{b}$. Also: $\sqrt{\frac{169a^2}{225b^4}} = \frac{\sqrt{169a^2}}{\sqrt{225b^4}} = \frac{13a}{15b^2}$. 1. h) Berechne $\sqrt{\frac{27x^2 y^3}{50ab}} \cdot \sqrt{\frac{6a^2 b^3}{7y}}$. Multipliziere unter der Wurzel: $$\sqrt{\frac{27x^2 y^3}{50ab} \times \frac{6a^2 b^3}{7y}} = \sqrt{\frac{27 \times 6 \times x^2 \times y^3 \times a^2 \times b^3}{50 \times 7 \times a \times b \times y}} = \sqrt{\frac{162 x^2 y^3 a^2 b^3}{350 a b y}}$$ Kürze: $$\sqrt{\frac{162 x^2 y^{3-1} a^{2-1} b^{3-1}}{350}} = \sqrt{\frac{162 x^2 y^2 a b^2}{350}}$$ Zahlen kürzen: $$\frac{162}{350} = \frac{81}{175}$$ Also: $$\sqrt{\frac{81}{175} x^2 y^2 a b^2} = \frac{9 x y b \sqrt{a}}{\sqrt{175}}$$ Da $\sqrt{175} = \sqrt{25 \times 7} = 5 \sqrt{7}$, ergibt sich: $$\frac{9 x y b \sqrt{a}}{5 \sqrt{7}}$$. 2. Vereinfachen: 2. a) $\sqrt{49x} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{x} = 7 \sqrt{x}$. 2. b) $\sqrt{2x^4 y^2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{x^4} \cdot \sqrt{y^2} = \sqrt{2} \cdot x^2 \cdot y = x^2 y \sqrt{2}$. 2. c) $\sqrt{\frac{4x^2}{5a^2}} \cdot \sqrt{\frac{6y^2}{5b^2}} = \sqrt{\frac{4x^2}{5a^2} \times \frac{6y^2}{5b^2}} = \sqrt{\frac{24 x^2 y^2}{25 a^2 b^2}} = \frac{\sqrt{24} x y}{5 a b} = \frac{2 \sqrt{6} x y}{5 a b}$. 3. Faktor unter der Wurzel: 3. a) $3 \sqrt{20} = 3 \times \sqrt{4 \times 5} = 3 \times 2 \sqrt{5} = 6 \sqrt{5}$. 3. b) $\frac{7}{13} \cdot \sqrt{\frac{7^3}{7}} = \frac{7}{13} \cdot \sqrt{7^{3-1}} = \frac{7}{13} \cdot \sqrt{7^2} = \frac{7}{13} \cdot 7 = \frac{49}{13}$. 3. c) $5 \times \sqrt{25} = 5 \times 5 = 25$. 4. Nenner rationalisieren: 4. a) $\frac{30}{\sqrt{40}}$. Multipliziere Zähler und Nenner mit $\sqrt{40}$: $$\frac{30}{\sqrt{40}} \times \frac{\sqrt{40}}{\sqrt{40}} = \frac{30 \sqrt{40}}{40}$$ Kürze $\frac{30}{40} = \frac{3}{4}$: $$\frac{3 \sqrt{40}}{4} = \frac{3 \sqrt{4 \times 10}}{4} = \frac{3 \times 2 \sqrt{10}}{4} = \frac{6 \sqrt{10}}{4} = \frac{3 \sqrt{10}}{2}$$. Endergebnis: $\frac{3 \sqrt{10}}{2}$. Das sind die Lösungen für die erste Aufgabe. Die Gesamtanzahl der Fragen ist 4.