1. **Problemstellung:** Vereinfache den Ausdruck $$\sqrt{2x^3 \sqrt{8x^2 \cdot (x\sqrt{2})^2}}$$. 2. **Formeln und Regeln:** - Die Quadratwurzel von einem Produkt ist das Produkt der Quadratwurzeln: $$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$$. - Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert durch Addition der Exponenten: $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$. - Die Wurzel von einer Potenz: $$\sqrt{a^m} = a^{\frac{m}{2}}$$. 3. **Zwischenschritte:** - Zuerst den inneren Ausdruck vereinfachen: $$8x^2 \cdot (x\sqrt{2})^2$$. - Berechne $$(x\sqrt{2})^2 = x^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = x^2 \cdot 2 = 2x^2$$. - Somit ist $$8x^2 \cdot 2x^2 = 16x^{4}$$. - Jetzt haben wir $$\sqrt{2x^3 \sqrt{16x^4}}$$. - Die innere Wurzel: $$\sqrt{16x^4} = 16^{\frac{1}{2}} \cdot x^{4 \cdot \frac{1}{2}} = 4x^2$$. - Der Ausdruck wird zu $$\sqrt{2x^3 \cdot 4x^2} = \sqrt{8x^{5}}$$. - Schreibe $$\sqrt{8x^{5}} = \sqrt{8} \cdot \sqrt{x^{5}} = 2\sqrt{2} \cdot x^{\frac{5}{2}}$$. 4. **Endergebnis:** $$2x^{\frac{5}{2}} \sqrt{2}$$. Das ist die vereinfachte Form des gegebenen Ausdrucks.