1. **הבעיה:** יוסי רץ במסלול שבו בדקה הראשונה הוא רץ 75 מטרים, ובכל דקה הבאה המרחק גדל פי 1.02 מהמרחק שברץ בדקה הקודמת. 2. **חישוב המרחק שרץ יוסי בדקה הרביעית:** המרחק בדקה $n$ הוא חלק מסדרה הנדסית עם איבר ראשון $a_1=75$ ויחס $r=1.02$. הנוסחה לאיבר ה-$n$ בסדרה הנדסית היא: $$a_n = a_1 \times r^{n-1}$$ לכן: $$a_4 = 75 \times 1.02^{3} = 75 \times 1.061208 = 79.59$$ 3. **חישוב המרחק הכולל ב-4 הדקות הראשונות:** סכום $S_n$ של $n$ איברים בסדרה הנדסית הוא: $$S_n = a_1 \times \frac{r^n - 1}{r - 1}$$ לכן: $$S_4 = 75 \times \frac{1.02^4 - 1}{1.02 - 1} = 75 \times \frac{1.08243216 - 1}{0.02} = 75 \times \frac{0.08243216}{0.02} = 75 \times 4.121608 = 309.12$$ 4. **נוסחה לחישוב המרחק הכולל ב-$n$ הדקות הראשונות:** $$S_n = 75 \times \frac{1.02^n - 1}{0.02}$$ 5. **הסבר מדוע יוסי לא יצליח לעבור 2,500 מטרים ב-25 דקות:** נחשב את $S_{25}$: $$S_{25} = 75 \times \frac{1.02^{25} - 1}{0.02}$$ נחשב את $1.02^{25}$: $$1.02^{25} \approx 1.64$$ לכן: $$S_{25} = 75 \times \frac{1.64 - 1}{0.02} = 75 \times \frac{0.64}{0.02} = 75 \times 32 = 2400$$ המרחק הכולל הוא 2400 מטרים, פחות מ-2500 מטרים, ולכן יוסי לא יצליח לעבור 2500 מטרים ב-25 דקות. 6. **חישוב המרחק הקצר ביותר שעליו לרוץ בדקה הראשונה כדי לעבור 2500 מטרים ב-25 דקות:** נגדיר את המרחק בדקה הראשונה כ-$a_1$. נרצה ש: $$S_{25} = a_1 \times \frac{1.02^{25} - 1}{0.02} \geq 2500$$ כיוון ש-$\frac{1.02^{25} - 1}{0.02} = 32$ (כפי שחישבנו), נקבל: $$a_1 \times 32 \geq 2500 \Rightarrow a_1 \geq \frac{2500}{32} = 78.13$$ לכן, המרחק הקצר ביותר שעליו לרוץ בדקה הראשונה הוא 78.13 מטרים.