1. Mari kita selesaikan sistem persamaan linear pertama dengan metode eliminasi Gauss: $$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + 3y + z = 11 \\ x + 2y + 3z = 14 \end{cases}$$ 2. Tulis matriks augmented: $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & 3 & 1 & 11 \\ 1 & 2 & 3 & 14 \end{array}\right]$$ 3. Eliminasi elemen di bawah pivot pertama (baris 1, kolom 1): - Baris 2 = Baris 2 - 2*Baris 1: $$[2,3,1,11] - 2*[1,1,1,6] = [0,1,-1,-1]$$ - Baris 3 = Baris 3 - Baris 1: $$[1,2,3,14] - [1,1,1,6] = [0,1,2,8]$$ 4. Matriks sekarang: $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 8 \end{array}\right]$$ 5. Eliminasi elemen di bawah pivot kedua (baris 2, kolom 2): - Baris 3 = Baris 3 - Baris 2: $$[0,1,2,8] - [0,1,-1,-1] = [0,0,3,9]$$ 6. Matriks sekarang: $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & 9 \end{array}\right]$$ 7. Cari nilai variabel dari bawah ke atas: - Dari baris 3: $$3z = 9 \Rightarrow z = 3$$ - Dari baris 2: $$y - z = -1 \Rightarrow y - 3 = -1 \Rightarrow y = 2$$ - Dari baris 1: $$x + y + z = 6 \Rightarrow x + 2 + 3 = 6 \Rightarrow x = 1$$ 8. Jadi solusi sistem pertama adalah: $$x=1, y=2, z=3$$ --- 9. Sekarang kita selesaikan sistem persamaan kedua dengan metode eliminasi Gauss-Jordan: $$\begin{cases} x + 2y + z = 3 \\ 2x + 4y - 2z = 6 \\ x + y + z = 4 \end{cases}$$ 10. Tulis matriks augmented: $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 4 & -2 & 6 \\ 1 & 1 & 1 & 4 \end{array}\right]$$ 11. Buat pivot pertama menjadi 1 (sudah 1 di baris 1). 12. Eliminasi elemen di bawah dan atas pivot pertama: - Baris 2 = Baris 2 - 2*Baris 1: $$[2,4,-2,6] - 2*[1,2,1,3] = [0,0,-4,0]$$ - Baris 3 = Baris 3 - Baris 1: $$[1,1,1,4] - [1,2,1,3] = [0,-1,0,1]$$ 13. Matriks sekarang: $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right]$$ 14. Pivot kedua di baris 3 kolom 2, ubah menjadi 1: - Baris 3 = -1 * Baris 3: $$[0,-1,0,1] * -1 = [0,1,0,-1]$$ 15. Eliminasi elemen di atas pivot kedua: - Baris 1 = Baris 1 - 2*Baris 3: $$[1,2,1,3] - 2*[0,1,0,-1] = [1,0,1,5]$$ 16. Matriks sekarang: $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{array}\right]$$ 17. Pivot ketiga di baris 2 kolom 3, ubah menjadi 1: - Baris 2 = -\frac{1}{4} * Baris 2: $$[0,0,-4,0] * -\frac{1}{4} = [0,0,1,0]$$ 18. Eliminasi elemen di atas pivot ketiga: - Baris 1 = Baris 1 - Baris 2: $$[1,0,1,5] - [0,0,1,0] = [1,0,0,5]$$ 19. Matriks sekarang: $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{array}\right]$$ 20. Dari matriks ini, solusi adalah: $$x=5, y=-1, z=0$$ --- 21. Untuk soal ketiga, matriks A: $$\begin{bmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 5 & 2 & 6 \\ 3 & 5 & 9 \end{bmatrix}$$ - Baris ke-2 adalah $$[5, 2, 6]$$ - Kolom ke-1 adalah $$\begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 3 \end{bmatrix}$$ --- 22. Untuk soal keempat, matriks B: $$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 2 & 9 \end{bmatrix}$$ - Determinan dengan metode Sarrus: $$\det(B) = 1*5*9 + 3*6*3 + 1*4*2 - (1*5*3 + 3*6*1 + 9*4*1)$$ $$= 45 + 54 + 8 - (15 + 18 + 36) = 107 - 69 = 38$$ Jawaban lengkap dan langkah-langkah sudah diberikan untuk soal pertama dan kedua, serta jawaban singkat untuk soal ketiga dan keempat sesuai permintaan.