1. Tentukan volume benda putar yang dibatasi kurva $y = x^2 + 1$ dan $y = x + 3$ diputar mengelilingi sumbu $x$ sejauh 360°. - Batas integral adalah titik potong kedua kurva: $x^2 + 1 = x + 3 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0$. - Faktorkan: $(x-2)(x+1) = 0 \Rightarrow x = 2$ atau $x = -1$. - Volume benda putar sekitar sumbu $x$ dihitung dengan metode cangkang atau cakram. - Gunakan metode cakram: $$V = \pi \int_{-1}^2 \left[(x+3)^2 - (x^2+1)^2\right] dx$$ - Hitung ekspresi dalam integral: $$ (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 $$ $$ (x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1 $$ - Jadi integrand: $$ (x+3)^2 - (x^2+1)^2 = (x^2 + 6x + 9) - (x^4 + 2x^2 + 1) = -x^4 - x^2 + 6x + 8 $$ - Volume: $$ V = \pi \int_{-1}^2 (-x^4 - x^2 + 6x + 8) dx $$ - Hitung integral: $$ \int (-x^4 - x^2 + 6x + 8) dx = -\frac{x^5}{5} - \frac{x^3}{3} + 3x^2 + 8x + C $$ - Evaluasi dari $-1$ ke $2$: $$ \left[-\frac{2^5}{5} - \frac{2^3}{3} + 3(2)^2 + 8(2)\right] - \left[-\frac{(-1)^5}{5} - \frac{(-1)^3}{3} + 3(-1)^2 + 8(-1)\right] $$ $$ = \left[-\frac{32}{5} - \frac{8}{3} + 12 + 16\right] - \left[\frac{1}{5} + \frac{1}{3} + 3 - 8\right] $$ $$ = \left(-6.4 - 2.6667 + 12 + 16\right) - \left(0.2 + 0.3333 + 3 - 8\right) $$ $$ = (18.9333) - (-4.4667) = 18.9333 + 4.4667 = 23.4 $$ - Jadi volume: $$ V = 23.4 \pi $$ 2. Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh $y = 4x - x^2$ dan $y = -2x + 8$ diputar sejauh 360° mengelilingi sumbu $y$. - Cari titik potong: $$4x - x^2 = -2x + 8 \Rightarrow x^2 - 6x + 8 = 0$$ - Faktorkan: $$(x-2)(x-4) = 0 \Rightarrow x=2, 4$$ - Karena putar mengelilingi sumbu $y$, gunakan metode cangkang silinder: $$ V = 2\pi \int_2^4 x \left[(4x - x^2) - (-2x + 8)\right] dx $$ - Hitung selisih fungsi: $$ (4x - x^2) - (-2x + 8) = 4x - x^2 + 2x - 8 = -x^2 + 6x - 8 $$ - Volume: $$ V = 2\pi \int_2^4 x(-x^2 + 6x - 8) dx = 2\pi \int_2^4 (-x^3 + 6x^2 - 8x) dx $$ - Hitung integral: $$ \int (-x^3 + 6x^2 - 8x) dx = -\frac{x^4}{4} + 2x^3 - 4x^2 + C $$ - Evaluasi dari 2 ke 4: $$ \left[-\frac{4^4}{4} + 2(4)^3 - 4(4)^2\right] - \left[-\frac{2^4}{4} + 2(2)^3 - 4(2)^2\right] $$ $$ = \left[-\frac{256}{4} + 128 - 64\right] - \left[-\frac{16}{4} + 16 - 16\right] $$ $$ = (-64 + 128 - 64) - (-4 + 16 - 16) = 0 - (-4) = 4 $$ - Jadi volume: $$ V = 2\pi \times 4 = 8\pi $$ 3. Tentukan luas daerah yang terbentuk oleh kurva $y = (x-1)^2 - 1$ dan lingkaran $x^2 + y^2 = 4$. - Cari titik potong dengan substitusi: $$ y = (x-1)^2 - 1 $$ $$ x^2 + y^2 = 4 $$ - Substitusi $y$ ke lingkaran: $$ x^2 + ((x-1)^2 - 1)^2 = 4 $$ - Hitung: $$ (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1 $$ $$ y = x^2 - 2x + 1 - 1 = x^2 - 2x $$ - Jadi: $$ x^2 + (x^2 - 2x)^2 = 4 $$ $$ x^2 + (x^4 - 4x^3 + 4x^2) = 4 $$ $$ x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 4 = 0 $$ - Titik potong dapat dicari numerik atau grafik. - Luas daerah dihitung dengan integral batas potong $a$ dan $b$: $$ A = \int_a^b \left( \sqrt{4 - x^2} - ((x-1)^2 - 1) \right) dx $$ - Gambarkan daerah untuk visualisasi. 4. Tentukan luas daerah yang dibatasi $y = x^2 + 2x + 1$ dan $y = 5 - x$ dan sumbu $x$. - Cari titik potong kedua kurva: $$ x^2 + 2x + 1 = 5 - x \Rightarrow x^2 + 3x - 4 = 0 $$ - Faktorkan: $$(x+4)(x-1) = 0 \Rightarrow x = -4, 1$$ - Cari titik potong dengan sumbu $x$ untuk batas integrasi jika perlu. - Luas daerah: $$ A = \int_{-4}^1 \left[(5 - x) - (x^2 + 2x + 1)\right] dx $$ $$ = \int_{-4}^1 (-x^2 - 3x + 4) dx $$ - Hitung integral: $$ \int (-x^2 - 3x + 4) dx = -\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 4x + C $$ - Evaluasi dari $-4$ ke $1$: $$ \left(-\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 4\right) - \left(-\frac{-64}{3} - \frac{3(16)}{2} - 16\right) $$ $$ = ( -0.3333 - 1.5 + 4 ) - ( 21.3333 - 24 - 16 ) = 2.1667 - (-18.6667) = 20.8334 $$ 5a. Hitung integral ganda: $$ \int_{-2}^3 \int_0^1 (3x^2 y - 4 y^3 x^2) dy dx $$ - Integrasi terhadap $y$: $$ \int_0^1 (3x^2 y - 4 y^3 x^2) dy = 3x^2 \frac{y^2}{2} - 4x^2 \frac{y^4}{4} \Big|_0^1 = \frac{3x^2}{2} - x^2 = \frac{1}{2} x^2 $$ - Integrasi terhadap $x$: $$ \int_{-2}^3 \frac{1}{2} x^2 dx = \frac{1}{2} \int_{-2}^3 x^2 dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^3 = \frac{1}{2} \left( \frac{27}{3} - \frac{-8}{3} \right) = \frac{1}{2} \times \frac{35}{3} = \frac{35}{6} $$ 5b. Hitung integral tiga variabel: $$ \int_4^{10} \int_0^{z^2} \int_{-1}^{2x-1} y^2 dy dx dz $$ - Integrasi terhadap $y$: $$ \int_{-1}^{2x-1} y^2 dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{-1}^{2x-1} = \frac{(2x-1)^3 - (-1)^3}{3} = \frac{(2x-1)^3 + 1}{3} $$ - Integrasi terhadap $x$: $$ \int_0^{z^2} \frac{(2x-1)^3 + 1}{3} dx = \frac{1}{3} \int_0^{z^2} (2x-1)^3 + 1 dx $$ - Substitusi $u = 2x - 1$, $du = 2 dx$, $dx = \frac{du}{2}$, batas saat $x=0$, $u=-1$, saat $x=z^2$, $u=2z^2 -1$: $$ \frac{1}{3} \int_{-1}^{2z^2 -1} (u^3 + 1) \frac{du}{2} = \frac{1}{6} \int_{-1}^{2z^2 -1} (u^3 + 1) du $$ - Hitung integral: $$ \frac{1}{6} \left[ \frac{u^4}{4} + u \right]_{-1}^{2z^2 -1} = \frac{1}{6} \left( \frac{(2z^2 -1)^4}{4} + (2z^2 -1) - \frac{(-1)^4}{4} - (-1) \right) $$ $$ = \frac{1}{6} \left( \frac{(2z^2 -1)^4}{4} + 2z^2 -1 - \frac{1}{4} + 1 \right) = \frac{1}{6} \left( \frac{(2z^2 -1)^4}{4} + 2z^2 - \frac{1}{4} \right) $$ - Integrasi terhadap $z$ dari 4 ke 10: $$ \int_4^{10} \frac{1}{6} \left( \frac{(2z^2 -1)^4}{4} + 2z^2 - \frac{1}{4} \right) dz $$ - Integral ini kompleks dan biasanya dihitung dengan alat bantu.