Solusi Bilangan Genap 9A0455

1. Masalah yang diberikan adalah menentukan banyak solusi dari persamaan $$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 34$$ dengan syarat setiap $x_i$ adalah bilangan bulat genap positif dan tidak melebihi 10. 2. Karena setiap $x_i$ adalah bilangan genap positif, kita bisa tulis $x_i = 2y_i$ dengan $y_i$ bilangan bulat positif. 3. Substitusi ini mengubah persamaan menjadi: $$2y_1 + 2y_2 + 2y_3 + 2y_4 + 2y_5 + 2y_6 = 34$$ atau $$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6 = 17$$ 4. Karena $x_i \leq 10$, maka $2y_i \leq 10$ sehingga $y_i \leq 5$ dan $y_i \geq 1$ (positif). 5. Jadi kita mencari banyak solusi bilangan bulat positif $y_i$ dengan batasan $1 \leq y_i \leq 5$ dan jumlah $y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6 = 17$. 6. Definisikan $z_i = y_i - 1$, sehingga $z_i \geq 0$ dan $z_i \leq 4$. Persamaan menjadi: $$z_1 + z_2 + z_3 + z_4 + z_5 + z_6 = 17 - 6 = 11$$ 7. Kita ingin menghitung banyak solusi non-negatif $z_i$ dengan batas $z_i \leq 4$. 8. Tanpa batas atas, banyak solusi non-negatif dari $z_1 + \cdots + z_6 = 11$ adalah $$\binom{11 + 6 - 1}{6 - 1} = \binom{16}{5} = 4368$$ 9. Gunakan prinsip inklusi-eksklusi untuk batas atas $z_i \leq 4$: Definisikan $A_i$ sebagai himpunan solusi dengan $z_i \geq 5$. 10. Banyak solusi dengan $z_i \geq 5$ untuk satu variabel: Set $w_i = z_i - 5 \geq 0$, maka $$w_i + \sum_{j \neq i} z_j = 11 - 5 = 6$$ Jumlah solusi: $$\binom{6 + 6 - 1}{6 - 1} = \binom{11}{5} = 462$$ 11. Banyak solusi dengan dua variabel $z_i, z_j \geq 5$: Set $w_i = z_i - 5 \geq 0$, $w_j = z_j - 5 \geq 0$, maka $$w_i + w_j + \sum_{k \neq i,j} z_k = 11 - 10 = 1$$ Jumlah solusi: $$\binom{1 + 6 - 1}{6 - 1} = \binom{6}{5} = 6$$ 12. Tidak mungkin ada tiga variabel $\geq 5$ karena total minimalnya sudah $15 > 11$. 13. Dengan prinsip inklusi-eksklusi, banyak solusi valid adalah: $$\binom{16}{5} - \binom{6}{1} \times 462 + \binom{6}{2} \times 6 = 4368 - 6 \times 462 + 15 \times 6$$ 14. Hitung nilai: $$4368 - 2772 + 90 = 1686$$ 15. Jadi, banyak solusi bilangan bulat genap positif $x_i$ dengan $x_i \leq 10$ yang memenuhi persamaan adalah $$\boxed{1686}$$.