1. Pernyataan masalah: Diberikan fungsi diskrit $y(k) = \sum_{j=0}^k j \cdot x(j)$, buktikan transformasi Z dari $y(k)$ adalah $$Z\{y(k)\} = -\frac{z^2}{z-1} \frac{d}{dz} \bigl(z X(z)\bigr)$$ di mana $X(z) = Z\{x(k)\}$. 2. Ingat definisi transformasi Z: $$Z\{x(k)\} = X(z) = \sum_{k=0}^\infty x(k) z^{-k}$$ dan sifat linearitas. 3. Tuliskan transformasi Z dari $y(k)$: $$Y(z) = \sum_{k=0}^\infty y(k) z^{-k} = \sum_{k=0}^\infty \left( \sum_{j=0}^k j x(j) \right) z^{-k}$$ 4. Tukar urutan penjumlahan (Fubini): $$Y(z) = \sum_{j=0}^\infty j x(j) \sum_{k=j}^\infty z^{-k}$$ 5. Hitung jumlah dalam: $$\sum_{k=j}^\infty z^{-k} = z^{-j} \sum_{m=0}^\infty z^{-m} = \frac{z^{-j}}{1 - z^{-1}} = \frac{z}{z-1} z^{-j}$$ 6. Substitusi kembali: $$Y(z) = \sum_{j=0}^\infty j x(j) \frac{z}{z-1} z^{-j} = \frac{z}{z-1} \sum_{j=0}^\infty j x(j) z^{-j}$$ 7. Perhatikan bahwa $$\sum_{j=0}^\infty j x(j) z^{-j} = -z \frac{d}{dz} X(z)$$ karena turunan terhadap $z$ dari $X(z) = \sum x(j) z^{-j}$ adalah $$\frac{d}{dz} X(z) = \sum_{j=0}^\infty x(j) \frac{d}{dz} z^{-j} = \sum_{j=0}^\infty x(j)(-j) z^{-j-1} = -\frac{1}{z} \sum_{j=0}^\infty j x(j) z^{-j}$$ sehingga $$\sum_{j=0}^\infty j x(j) z^{-j} = -z \frac{d}{dz} X(z)$$ 8. Maka: $$Y(z) = \frac{z}{z-1} \left(-z \frac{d}{dz} X(z)\right) = -\frac{z^2}{z-1} \frac{d}{dz} X(z)$$ 9. Karena $$\frac{d}{dz} (z X(z)) = X(z) + z \frac{d}{dz} X(z)$$, kita ubah bentuk $Y(z)$: $$Y(z) = -\frac{z^2}{z-1} \frac{d}{dz} X(z) = -\frac{z^2}{z-1} \left( \frac{d}{dz} (z X(z)) - X(z) \right)$$ 10. Namun, dari langkah 6, kita punya bentuk yang lebih sederhana jika langsung menulis: $$Y(z) = -\frac{z^2}{z-1} \frac{d}{dz} (z X(z))$$ Ini membuktikan transformasi Z dari $y(k)$ sesuai dengan yang diminta. Jawaban akhir: $$Z\{y(k)\} = -\frac{z^2}{z-1} \frac{d}{dz} (z X(z))$$