1. Vamos analisar a função dada: $$f(x) = \begin{cases} \frac{2\cos(x)}{x - \frac{\pi}{2}}, & x \neq \frac{\pi}{2} \\ 1 - k, & x = \frac{\pi}{2} \end{cases}$$ Queremos encontrar o valor de $k$ para que $f$ seja contínua em $x = \frac{\pi}{2}$. 2. Para que $f$ seja contínua em $x = \frac{\pi}{2}$, o limite de $f(x)$ quando $x$ se aproxima de $\frac{\pi}{2}$ deve ser igual ao valor da função em $x = \frac{\pi}{2}$: $$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x) = f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 - k$$ 3. Vamos calcular o limite: $$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2\cos(x)}{x - \frac{\pi}{2}}$$ 4. Note que quando $x \to \frac{\pi}{2}$, o denominador $x - \frac{\pi}{2} \to 0$ e o numerador $2\cos(x) \to 2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$. Temos uma forma indeterminada $\frac{0}{0}$, então podemos aplicar a regra de L'Hôpital. 5. Aplicando a regra de L'Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a $x$: $$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2\cos(x)}{x - \frac{\pi}{2}} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{-2\sin(x)}{1} = -2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -2 \times 1 = -2$$ 6. Portanto: $$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x) = -2$$ 7. Para continuidade, igualamos o limite ao valor da função em $x = \frac{\pi}{2}$: $$1 - k = -2$$ 8. Resolvendo para $k$: $$k = 1 + 2 = 3$$ Resposta final: $\boxed{3}$