1. **Enunciado do problema:** Temos a função contínua $f$ definida por partes: $$f(x) = \begin{cases} \frac{e^{kx} - (1+x)^2}{x}, & x < 0 \\ \sin x (1 + \cos x), & 0 \leq x \leq \frac{3\pi}{2} \end{cases}$$ com $k > 0$ real. 3.1 **Determinar o valor de $k$.** 2. **Condição de continuidade em $x=0$: ** Para $f$ ser contínua em $0$, os limites laterais devem ser iguais e iguais a $f(0)$. 3. **Limite à direita em $0$: ** $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \sin x (1 + \cos x) = 0 \cdot (1 + 1) = 0$$ 4. **Limite à esquerda em $0$: ** $$\lim_{x \to 0^-} \frac{e^{kx} - (1+x)^2}{x}$$ Usamos a regra de L'Hôpital pois o numerador e denominador tendem a 0: $$\lim_{x \to 0^-} \frac{e^{kx} - (1+x)^2}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{k e^{kx} - 2(1+x)}{1} = k - 2$$ 5. **Igualando os limites para continuidade:** $$k - 2 = 0 \implies k = 2$$ --- 3.2 **Determinar a assíntota oblíqua para $x \to -\infty$.** 6. Para $x < 0$, analisamos o comportamento de $f(x)$ quando $x \to -\infty$: $$f(x) = \frac{e^{2x} - (1+x)^2}{x}$$ 7. Como $e^{2x} \to 0$ para $x \to -\infty$, temos: $$f(x) \sim \frac{- (1+x)^2}{x} = \frac{-(x^2 + 2x + 1)}{x} = -\frac{x^2}{x} - \frac{2x}{x} - \frac{1}{x} = -x - 2 - \frac{1}{x}$$ 8. Para $x \to -\infty$, $-\frac{1}{x} \to 0$, então: $$f(x) \sim -x - 2$$ 9. A assíntota oblíqua tem a forma $y = mx + b$ com: $$m = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x - 2 - \frac{1}{x}}{x} = \lim_{x \to -\infty} \left(-1 - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}\right) = -1$$ 10. O coeficiente linear é: $$b = \lim_{x \to -\infty} [f(x) - m x] = \lim_{x \to -\infty} \left(-x - 2 - \frac{1}{x} + x\right) = \lim_{x \to -\infty} \left(-2 - \frac{1}{x}\right) = -2$$ 11. Portanto, a assíntota oblíqua é: $$y = -x - 2$$ --- 3.3 **Estudo da monotonia e extremos relativos em $]0, \frac{3\pi}{2}]$.** 12. Para $x \in ]0, \frac{3\pi}{2}]$, temos: $$f(x) = \sin x (1 + \cos x)$$ 13. Derivando: $$f'(x) = \cos x (1 + \cos x) + \sin x (-\sin x) = \cos x + \cos^2 x - \sin^2 x$$ 14. Usando $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $$f'(x) = \cos x + \cos^2 x - (1 - \cos^2 x) = \cos x + \cos^2 x - 1 + \cos^2 x = \cos x + 2 \cos^2 x - 1$$ 15. Procuramos zeros de $f'(x)$ para extremos: $$\cos x + 2 \cos^2 x - 1 = 0$$ 16. Seja $t = \cos x$, então: $$2 t^2 + t - 1 = 0$$ 17. Resolvendo a equação quadrática: $$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}$$ 18. Soluções: $$t_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{-4}{4} = -1$$ 19. Valores de $x$: - Para $\cos x = \frac{1}{2}$, $x = \frac{\pi}{3}$ (no intervalo) - Para $\cos x = -1$, $x = \pi$ (no intervalo) 20. Analisando o sinal de $f'(x)$ para determinar monotonia e extremos: - Para $x \in ]0, \frac{\pi}{3}[$, testamos $x=\frac{\pi}{4}$: $\cos \frac{\pi}{4} \approx 0.707$, $f'(x) > 0$ - Para $x \in ]\frac{\pi}{3}, \pi[$, testamos $x=\frac{2\pi}{3}$: $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$, $f'(x) < 0$ - Para $x \in ]\pi, \frac{3\pi}{2}]$, testamos $x=\frac{5\pi}{4}$: $\cos \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707$, $f'(x) < 0$ 21. Portanto: - Crescente em $]0, \frac{\pi}{3}[$ - Máximo relativo em $x = \frac{\pi}{3}$ - Decrescente em $]\frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}]$ 22. Valor do máximo: $$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin \frac{\pi}{3} \left(1 + \cos \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \left(1 + \frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$$ --- 3.4 **Mostrar que a equação $f(x) = x + 2$ tem solução em $]-2, -1.5[$.** 23. Para $x < 0$, $f(x) = \frac{e^{2x} - (1+x)^2}{x}$. 24. Definimos $g(x) = f(x) - (x + 2) = \frac{e^{2x} - (1+x)^2}{x} - x - 2$. 25. Avaliamos $g$ em $x = -2$: $$g(-2) = \frac{e^{-4} - (1 - 2)^2}{-2} - (-2) - 2 = \frac{e^{-4} - 1}{-2} + 2 - 2 = \frac{e^{-4} - 1}{-2}$$ Como $e^{-4} \approx 0.0183 < 1$, $e^{-4} - 1 < 0$, então: $$g(-2) = \frac{\text{negativo}}{-2} = \text{positivo}$$ 26. Avaliamos $g$ em $x = -1.5$: $$g(-1.5) = \frac{e^{-3} - (1 - 1.5)^2}{-1.5} - (-1.5) - 2 = \frac{e^{-3} - 0.25}{-1.5} + 1.5 - 2 = \frac{e^{-3} - 0.25}{-1.5} - 0.5$$ Como $e^{-3} \approx 0.0498 < 0.25$, $e^{-3} - 0.25 < 0$, então: $$\frac{e^{-3} - 0.25}{-1.5} = \text{positivo}$$ Logo: $$g(-1.5) = \text{positivo} - 0.5$$ 27. Calculando numericamente: $$\frac{0.0498 - 0.25}{-1.5} = \frac{-0.2002}{-1.5} = 0.1335$$ Então: $$g(-1.5) = 0.1335 - 0.5 = -0.3665 < 0$$ 28. Como $g(-2) > 0$ e $g(-1.5) < 0$, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe $c \in ]-2, -1.5[$ tal que $g(c) = 0$, ou seja, $f(c) = c + 2$. --- **Resposta final:** - 3.1: $k = 2$ - 3.2: Assíntota oblíqua $y = -x - 2$ - 3.3: Função crescente em $]0, \frac{\pi}{3}[$, máximo relativo em $x = \frac{\pi}{3}$ com valor $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$, decrescente em $]\frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}]$ - 3.4: A equação $f(x) = x + 2$ tem solução em $]-2, -1.5[$