1. Vamos calcular o limite $$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n^2}\right)^{n^3}$$. 2. Observe que a expressão tem a forma $$\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)^{n^3}$$, que lembra a forma geral $$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$$ que tende a $$e$$ quando $$x \to \infty$$, mas aqui o expoente é diferente. 3. Para analisar o limite, vamos reescrever a expressão usando a função exponencial e o logaritmo natural: $$\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)^{n^3} = e^{n^3 \ln\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)}$$ 4. Agora, vamos estudar o comportamento do expoente: $$n^3 \ln\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)$$ 5. Para $$n$$ grande, usamos a expansão de Taylor do logaritmo para $$x$$ pequeno: $$\ln(1 + x) \approx x - \frac{x^2}{2} + \cdots$$ 6. Substituindo $$x = \frac{1}{n^2}$$: $$\ln\left(1 + \frac{1}{n^2}\right) \approx \frac{1}{n^2} - \frac{1}{2 n^4}$$ 7. Multiplicando pelo $$n^3$$: $$n^3 \left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{2 n^4}\right) = n^3 \cdot \frac{1}{n^2} - n^3 \cdot \frac{1}{2 n^4} = n - \frac{1}{2 n}$$ 8. Quando $$n \to \infty$$, $$n - \frac{1}{2 n} \to \infty$$. 9. Portanto, o expoente cresce sem limite, e o limite da expressão é: $$\lim_{n \to \infty} e^{n - \frac{1}{2 n}} = e^{\infty} = \infty$$ 10. Conclusão: O limite diverge para infinito. Resposta final: $$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n^2}\right)^{n^3} = \infty$$.