1. Enunciado do problema: Calcular o limite $$\lim_{x \to 0^+} h(x)$$ onde $$h(x) = \ln(3 \sin(e x)) - \ln(x)$$ com domínio $$]0, \pi[$$. 2. Fórmula e regras importantes: Para limites envolvendo logaritmos e funções trigonométricas, usamos propriedades de limites e a regra de que $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$. 3. Reescrevendo a função para facilitar o limite: $$h(x) = \ln\left(3 \sin(e x)\right) - \ln(x) = \ln\left(\frac{3 \sin(e x)}{x}\right)$$ 4. Avaliando o limite dentro do logaritmo: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{3 \sin(e x)}{x} = 3 \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin(e x)}{x}$$ 5. Usando a substituição $$u = e x$$, então quando $$x \to 0^+$$, $$u \to 0^+$$ e: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin(e x)}{x} = \lim_{u \to 0^+} \frac{\sin u}{u/e} = e \lim_{u \to 0^+} \frac{\sin u}{u} = e \cdot 1 = e$$ 6. Portanto: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{3 \sin(e x)}{x} = 3 e$$ 7. Logo, o limite da função é: $$\lim_{x \to 0^+} h(x) = \ln(3 e) = \ln(3) + \ln(e) = 1 + \ln(3)$$ 8. Como pedido, o resultado está na forma $$a + \ln b$$ com $$a, b \in \mathbb{N}$$, onde $$a = 1$$ e $$b = 3$$. Resposta final: $$\boxed{1 + \ln(3)}$$