1. **Enunciado do problema:** Calcular o máximo e mínimo absolutos da função $$f(x) = \begin{cases} (x+1)e^{x-1}, & x \leq 1 \\ 1 + \frac{2}{\pi} \arctan\left(\frac{1}{x-1}\right), & x > 1 \end{cases}$$ 2. **Diferença entre os itens c) e d):** - No item c), estudamos a monotonia e existência de extremos locais, ou seja, pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos relativos. - No item d), buscamos os extremos absolutos, que são os maiores e menores valores que a função assume em todo o domínio, e o contradomínio, que é o conjunto de valores que a função realmente atinge. 3. **Determinação dos extremos absolutos:** - Para $x \leq 1$, a função é $f(x) = (x+1)e^{x-1}$. - Para $x > 1$, a função é $f(x) = 1 + \frac{2}{\pi} \arctan\left(\frac{1}{x-1}\right)$. 4. **Análise para $x \leq 1$:** - O domínio é $(-\infty, 1]$. - Como $e^{x-1} > 0$ para todo $x$, o comportamento de $f$ depende de $(x+1)$ e do crescimento exponencial. - O limite quando $x \to -\infty$ de $f(x)$ é: $$\lim_{x \to -\infty} (x+1)e^{x-1} = \lim_{x \to -\infty} (x+1) \cdot 0 = 0^-$$ - Em $x=1$, $f(1) = (1+1)e^{0} = 2$. 5. **Análise para $x > 1$:** - A função é contínua e limitada, pois $\arctan$ varia entre $-\frac{\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{2}$. - Quando $x \to 1^+$, $\frac{1}{x-1} \to +\infty$, então $$f(1^+) = 1 + \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = 1 + 1 = 2$$ - Quando $x \to +\infty$, $\frac{1}{x-1} \to 0^+$, então $$f(+\infty) = 1 + \frac{2}{\pi} \arctan(0) = 1 + 0 = 1$$ 6. **Valores extremos absolutos:** - O valor máximo absoluto é $2$, atingido em $x=1$ (pela continuidade e limites laterais). - O valor mínimo absoluto ocorre no limite para $x \to +\infty$, que é $1$. 7. **Contradomínio:** - Como $f$ é contínua e varia entre $1$ e $2$, o contradomínio é o intervalo fechado $$[1, 2]$$ **Resposta final:** - Máximo absoluto: $2$ em $x=1$. - Mínimo absoluto: $1$ no limite quando $x \to +\infty$. - Contradomínio: $[1, 2]$.