1. **Estudar a natureza da série numérica** Dada a série $$\sum_{n=1}^{+\infty} 9^n \left( \frac{n+3}{18n+1} \right)^n$$ 2. **Fórmula e regra para séries de potências:** Para estudar a convergência, usamos o critério da raiz (Cauchy): $$L = \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{|a_n|}$$ Se $L < 1$, a série converge absolutamente. Se $L > 1$, a série diverge. Se $L = 1$, o teste é inconclusivo. 3. **Aplicar o critério da raiz:** Aqui, o termo geral é $$a_n = 9^n \left( \frac{n+3}{18n+1} \right)^n$$ Logo, $$\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{9^n} \times \sqrt[n]{\left( \frac{n+3}{18n+1} \right)^n} = 9 \times \frac{n+3}{18n+1}$$ 4. **Calcular o limite:** $$L = \lim_{n \to +\infty} 9 \times \frac{n+3}{18n+1} = 9 \times \lim_{n \to +\infty} \frac{n+3}{18n+1}$$ Dividindo numerador e denominador por $n$: $$L = 9 \times \lim_{n \to +\infty} \frac{\cancel{n} + \frac{3}{n}}{18 \cancel{n} + \frac{1}{n}} = 9 \times \frac{1 + 0}{18 + 0} = 9 \times \frac{1}{18} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$$ 5. **Conclusão:** Como $L = \frac{1}{2} < 1$, a série converge absolutamente. **Resposta final:** A série $$\sum_{n=1}^{+\infty} 9^n \left( \frac{n+3}{18n+1} \right)^n$$ é convergente.